Empréstitos amortización por sorteo

En este tipo de empréstitos, muy utilizados, se realizan periódicamente amortizaciones de un número determinado de títulos, que son elegidos por sorteo.

Las cuotas periódicas incluyen, por tanto, dos conceptos:

- El pago de los intereses del periodo

- La amortización de aquellos títulos seleccionados

a) Pago periódico de intereses y cuotas periódicas constantes

Dentro de este tipo de empréstitos, destaca un modelo particular que se caracteriza porque las cuotas periódicas son constantes durante toda la vida del empréstito (por simplificar, vamos a considerar que el tipo de interés también es constante durante toda la operación).

Para calcular el importe de la cuota periódica se aplica la ley de equivalencia financiera:

Co = Ms * Ao

Siendo Co el importe inicial del empréstito

Siendo Ms el importe de la cuota periódica

Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable

De aquí podemos despejar el valor de M_s. Para calcular que parte de esta cuota periódica corresponde a amortización de capital se calcula la correspondiente al primer periodo:

M1 = (Co * i * t)  + (A1 * Vn)

El primer paréntesis (Co * i * t) corresponde a los intereses del periodo, mientras que el segundo paréntesis (A1 * Vn) corresponde a la amortización de capital (siendo A1 el número de títulos que se amortiza y Vn el valor nominal de cada título)

El importe de los intereses se puede calcular directamente, y a continuación se puede deducir el importe de la amortización de capital (y con ella, el número de títulos amortizados).

A partir del número de títulos que se amortiza en el primer periodo, se puede calcular el calendario de amortizaciones:

As = Ai * (1 + i)^s-1

Siendo As el número de títulos que se amortiza en el periodo s

La parte de cada cuota periódica que corresponde a intereses se calcula aplicando la fórmula:

Ms = AMs  + Is

Por lo que, Is = Ms - AMs

Ejemplo: Se realiza una emisión de obligaciones de 20.000 millones ptas., distribuida en  1.000.000 de títulos de 20.000 ptas. de nominal cada uno, a un plazo de 5 años y tipo de interés del 8%. Las cuotas son anuales y constantes.

Calcular el cuadro de amortizaciones:

Solución:

Se comienza por calcular el importe constante de la cuota periódica

Co = Ms * Ao

luego, Co = Ms * ((1 - (1 + i)^-n) / i)

luego, 20.000 = Ms * ((1 - (1 + 0,08)^-5) / 0,08)

luego, Ms = 5.009,13 millones ptas.

A continuación se calcula el número de títulos que se amortiza en el primer periodo:

Ms = (Co * i * t) + (A1 * Vn)

luego, 5.009,13 = (20.000*0,08*1) * (A1 * 0,02) (el valor nominal del título está expresado en millones de ptas.)

luego, A1 = 170.456 títulos

Ya podemos hallar el número de títulos que se amortiza en cada uno de los periodos:

A2	170.456 * (1 + 0,08)	184.092 títulos
A3	170.456 * (1 + 0,08)^2	198.820 títulos
A4	170.456 * (1 + 0,08)^3	214.725 títulos
A5	170.456 * (1 + 0,08)^4	231.904 títulos

Conociendo el número de títulos amortizados, simplemente se multiplican por su valor nominal para ver el importe del empréstito amortizado en cada periodo.

Los intereses se calculan por diferencia: I_s = M_s - AM_s

Ya se puede completar el cuadro de amortizaciones:

	Nº de títulos			Cuota periódica			Saldo vivo del empréstito
Periodo	Vivos	Amortizados en periodo	Amortiz. acumulados	Amortiz. de capital	Intereses	Cuota periódica
				(Millones ptas.)	(Millones ptas.)	(Millones ptas.)	(Millones ptas.)
año 0	1.000.000	0	0	0	0	0	20.000
año 1	829.544	170.456	170.456	3.409,12	1.600,00	5.009,13	16.590,88
año 2	645.452	184.092	354.548	3.681,84	1.327,29	5.009,13	12.909,04
año 3	446.632	198.820	553.368	3.796,40	1.032,73	5.009,13	8.932,64
año 4	231.904	214.725	768.093	4.294.50	714,63	5.009,13	4.638,08
año 5	0	231.904	1.000.000	4.638,08	371,05	5.009,13	0

b) Pago periódico de intereses y amortización de capital constante

Esta es otra modalidad de empréstitos muy utilizada.

El número de títulos que se amortiza en cada periodo viene determinado por la fórmula:

A = n / p

Siendo A el número de títulos que se amortiza en cada periodo

Siendo n el número total de títulos emitidos

Siendo p el número de periodos

Conociendo el número de títulos que se amortiza en cada periodo, es inmediato ver como evoluciona el número de títulos en circulación y con ello el saldo vivo del empréstito.

El importe de los intereses de cada periodo viene determinado por:

Is = Ss-i * i * t

Siendo Ss-1 el saldo vivo del empréstito al final del periodo anterior

Y el importe de la cuota periódica:

Ms = (A * Vn) + Is

Siendo Vn el importe nominal de cada título

Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 30.000 millones de pesetas, a 5 años y con un tipo de interés del 7%. La emisión se compone de 1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 30.000 ptas. cada uno. Se amortiza el mismo número de títulos en cada periodo.

Calcular el cuadro de amortizaciones:

	Nº de títulos			Cuota periódica			Saldo vivo del empréstito
Periodo	Vivos	Amortizados en periodo	Amortiz. acumulados	Amortiz. de capital	Intereses	Cuota periódica
				(Millones ptas.)	(Millones ptas.)	(Millones ptas.)	(Millones ptas.)
año 0	1.000.000	0	0	0	0	0	30.000
año 1	800.000	200.000	200.000	6.000	2.100	8.100	24.000
año 2	600.000	200.000	400.000	6.000	1.680	7.680	18.000
año 3	400.000	200.000	600.000	6.000	1.260	7.260	12.000
año 4	200.000	200.000	800.000	6.000	840	6.840	6.000
año 5	0	200.000	1.000.000	6.000	420	6.420	0

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Empréstitos sin vencimiento

Estos empréstitos no tienen vencimiento, son perpetuos. No obstante, las entidades públicas (que son las únicas que los emiten) se suelen reservar el derecho de poder amortizarlos en cualquier momento futuro.

La cuota periódica está integrada exclusivamente por los intereses, ya que no hay amortización de principal:

Ms = Is

Siendo Ms la cuota periódica y Is los intereses del periodo

La carga de los intereses será siempre la misma, ya que el saldo vivo no varía (suponiendo, también, un tipo de interés constante durante toda la vida de la operación).

Is = Co * i * t

Siendo Co el importe inicial del empréstito

Ejemplo: Se realiza una emisión de obligaciones de 50.000 millones de ptas., sin vencimiento, con tipo de interés anual del 7%. Calcular el importe de la cuota periódica:

Ms = Is

Siendo, Is = Co * i * t

Luego, Is = 50.000 * 0,07 * 1

Luego, Is = 3.500 millones ptas.

Por lo tanto, Ms = 3.500 millones ptas.

El valor de mercado de este tipo de empréstito, en cualquier momento su vida, viene determinado por la siguiente fórmula:

Vm = Is / im

Siendo, Vm el valor del empréstito

Siendo, im el tipo de mercado para emisiones de características similares en el momento de la valoración.

Ejemplo: transcurridos 3 años de la anterior emisión, el tipo de interés para emisiones similares ha subido al 8%. Calcular el valor actual de este empréstito:

Vm = Is / im

Luego, Vm = 3.500 / 0,08 = 43.750 millones ptas.

Por lo tanto, el valor del empréstito es ahora de 43.750 millones ptas., significativamente menor que su valor nominal (50.000 millones ptas.)  ANTERIOR          INDICE          SIGUIENTE

Ejercicios Deuda del Estado

Ejercicio

El Tesoro Público emite obligaciones a 10 años, con fecha de emisión 01/07/00. El valor nominal de los títulos es de 10.000 ptas., con un tipo de interés del 7,0% y amortización a la par. Estas obligaciones se han suscrito el 01/01/00.

Calcular el rendimiento efectivo de estos títulos:

a) Si el precio de suscripción ha sido del 101,5%

b) Si el precio de suscripción ha sido del 98,5%

Solución:

a) Precio de suscripción del 101,5%

Comenzamos por definir la tabla de flujos monetarios que genera esta operación

Fecha	Suscripción	Intereses	Amortización
01/01/00	- 10.150
01/07/00	(Emisión)
01/07/01		+ 700
01/07/02		+ 700
01/07/03		+ 700
01/07/04		+ 700
01/07/05		+ 700
01/07/06		+ 700
01/07/07		+ 700
01/07/08		+ 700
01/07/09		+ 700
01/07/10		+ 700	+10.000

El precio pagado por cada título ha sido: 10.000 * 101,5% = 10.150 ptas.

Los intereses de cada periodo se han calculado aplicando la fórmula: 

I = Co * i * t

Luego, I = 10.000 * 0,07 * 1 = 700 ptas.

Para calcular el rendimiento efectivo se aplica la fórmula de equivalencia financiera:

Pc = (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) * (1 + ie)^-t

Resolvemos la ecuación:

10.150 = ((700 * (1 - (1+ie)^-10)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-10)) * (1+ie) ^-0,5

ie = 6,354 %

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona cada título (en las condiciones que se han adquirido) es del 6,354%, inferior al 7,0%nominal que ofrece.

b) Precio de suscripción del 98,5%

La tabla de flujos monetarios es igual que la anterior, sólo cambia el precio pagado en la compra del título:

Fecha	Suscripción	Intereses	Amortización
01/01/00	- 9.850
01/07/00	(Emisión)
01/07/01		+ 700
01/07/02		+ 700
01/07/03		+ 700
01/07/04		+ 700
01/07/05		+ 700
01/07/06		+ 700
01/07/07		+ 700
01/07/08		+ 700
01/07/09		+ 700
01/07/10		+ 700	+10.000

El precio pagado por cada título ha sido: 10.000 * 98,5% = 9.850 ptas.

Resolvemos la ecuación:

9.850 = ((700 * (1 - (1+ie)^-10)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-10)) * (1+ie) ^-0,5

ie = 6,751 %

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona cada título (en las condiciones que se han adquirido) es del 6.751%. ANTERIOR          INDICE          SIGUIENTE

Deuda del Estado

El Estado utiliza como fuente de financiación la emisión de títulos-valores a medio y largo plazo:

Bonos del Estado (vencimiento a 3-5 años)

Obligaciones del Estado (vencimiento a 10-30 años)

Estos títulos presentan entre otras las siguientes características:

a) Su valor nominal suele ser constante (actualmente 10.000 ptas.)

b) Se suscriben mediante subasta, adjudicándoselo aquel inversionista que ofrece un precio más elevado

c) Pago de intereses anuales pospagables

d) Amortización a la par

La colocación de estos valores se realiza con anterioridad a la emisión de los mismos:

Por ejemplo: unas obligaciones a 10 años que se van a emitir el 10 de enero del año 2000, comienzan a colocarse entre los inversores a partir de junio/99.

En el momento de la colocación el inversor desembolsa ya el importe de la adquisición, pero el título no comienza a generar intereses hasta que no se emite.

Este plazo transcurrido entre colocación y emisión hay que tenerlo en cuenta a la hora de calcular la rentabilidad efectiva del título.

Ejemplo: El Estado emite bonos a 5 años, con fecha de emisión 1/01/00. El nominal de cada título es de 10.000 ptas y ofrece un tipo de interés del 6,5%. El inversor los suscribe el 31/09/99 al 102% de su valor (es decir, paga 10.200 ptas. por cada título). Calcular su rendimiento efectivo:

Fecha	Suscripción	Intereses	Amortización
31/09/99	- 10.200
01/00/00	(Emisión)
31/12/00		+ 650
31/12/01		+ 650
31/12/02		+ 650
31/12/03		+ 650
31/12/04		+ 650	+ 10.000
(Con signo negativo los pagos que realiza el inversor y con signo positivo los ingresos que recibe)

Los intereses de cada periodo se han calculado aplicando la fórmula: 

I = Co * i * t

Luego, I = 10.000 * 0,065 * 1 = 650 ptas.

Para calcular el rendimiento efectivo de este título se aplica la fórmula de equivalencia financiera:

Pc = (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) * (1 + ie)^-t

Siendo, Pc: precio de compra del título (en el ejemplo, 10.200 ptas.)

Siendo, I: intereses periódicos (en el ejemplo: 650 ptas.)

Siendo, Ao: valor actual de una renta unitaria, pospagable: Ao = (1 - (1 + ie)^-n)/ ie

Siendo, ie: el tipo de interés efectivo de la operación. Su valor se obtiene como solución de la ecuación de equivalencia financiera

Siendo, Pa: el precio de amortización (en el ejemplo: 10.000 ptas.)

Siendo, n: el plazo de duración de los títulos emitidos (en el ejemplo: 5 años)

Siendo, t: el tiempo transcurrido entre la suscripción (momento en el que el inversor desembolsa el dinero) y la emisión del título (en el ejemplo, 0,25 años)

El paréntesis (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) calcula el valor actual de los ingresos que recibe el inversionista, actualizados al momento de emisión del título.

El paréntesis (1 + ie)^-t descuenta el valor calculado en el paréntesis anterior, desde el momento de la emisión hasta el momento de la suscripción.

Resolvemos la ecuación:

10.200 = ((650 * (1 - (1+ie)^-5)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-5)) * (1+ie) ^-0,25

ie = 5,694 %

Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona este título (en las condiciones que se ha adquirido) es del 5,694%, inferior al 6,5% nominal que ofrece.

¿Por qué esta menor rentabilidad?.

Básicamente por dos motivos: primero, por que se ha pagado por el título más que su valor nominal (10.200 ptas. vs 10.000 ptas.) y segundo, por que se ha desembolsado su importe 3 meses antes que su fecha de emisión. ANTERIOR          INDICE          SIGUIENTE

Empréstitos

El empréstito es una modalidad de financiación por la que una entidad (empresa, organismo público, etc.) que necesita fondos, acude directamente al mercado, en lugar de ir a una entidad financiera.

La entidad divide el préstamo en un gran número de pequeñas partes iguales (participaciones), que coloca entre multitud de inversores. Estas partes del empréstito vienen representadas por "títulos-valores".

Todos los "títulos-valores" correspondientes a una misma emisión presentan las  mismas características: importe, tipo, vencimiento, etc.

La entidad que emite los títulos se denomina "emisor", mientras que el inversor que los suscribe se denomina "obligacionista".

Los "títulos-valores" ofrecen al inversor los siguientes derechos:

a) Recibir periódicamente intereses por los fondos prestados

b) Recuperar los fondos prestados al vencimiento del empréstito

Los empréstitos se clasifican según diversos criterios:

a) Según el emisor: deuda pública (emitida por entidades públicas) y deuda privada  (emitida por empresas).

b) Según el vencimiento: deuda amortizable (si tiene vencimiento) y deuda perpetua (no tiene vencimiento; no obstante, el emisor se suele reservar el derecho de amortizarla cuando lo considere oportuno).

c) Según la modalidad de amortización: con vencimientos periódicos parciales (en cada periodo se amortizan, bien un número determinado de títulos, bien una parte de todos los títulos) y con una única amortización al vencimiento.

d) Según el valor de emisión de los títulos: títulos emitidos a la par (se emiten por su valor nominal), títulos bajo la par (se emiten a un precio inferior a su valor nominal) y títulos sobre la par (se emiten a un precio superior a su valor nominal).

e) Según su valor de amortización: reembolsables por el nominal (su precio de amortización coincide con su valor nominal) y reembolsables con prima de amortización (su precio de amortización es superior a su valor nominal).

f) Según el pago de intereses: pago de intereses periódicos (periódicamente el inversor va recibiendo sus intereses) y "cupón cero" (un único pago de intereses en la fecha de vencimiento final del empréstito).

g) En función de la duración del empréstito: Pagarés (vencimiento inferior a 18 meses), Bonos (vencimiento entre 2 y 5 años) y obligaciones (vencimiento normalmente a más de 5 años).

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