Renta Constante Temporal Prepagable: qué es, fórmula, características y ejemplo :)

La Renta Constante Temporal Prepagable es un concepto importante dentro de la matemática financiera, especialmente para analizar operaciones en las que se realizan pagos o cobros de igual cantidad durante un número determinado de períodos y al inicio de cada período.

Este tipo de renta aparece en situaciones como alquileres pagados por adelantado, cuotas de determinados contratos, seguros y otras operaciones financieras con pagos periódicos.

En este artículo aprenderás qué es una renta constante temporal prepagable, cuáles son sus características, cómo se calcula su valor actual y valor futuro, qué fórmulas se utilizan y cómo resolver un ejemplo paso a paso.

¿Qué es una Renta Constante Temporal Prepagable?

Una Renta Constante Temporal Prepagable es una sucesión de pagos o cobros que cumplen principalmente con tres condiciones:

• Los importes son iguales.

• Se realizan durante un número limitado de períodos.

• Los pagos se efectúan al comienzo de cada período.

La palabra constante indica que todas las cuotas tienen el mismo valor.

La palabra temporal significa que existe un número determinado de pagos.

Finalmente, prepagable significa que cada pago se realiza al inicio del período correspondiente.

Ejemplo sencillo

Supongamos que una persona debe realizar 12 pagos mensuales de S/1,000, pero cada cuota se paga al comenzar el mes.

La secuencia sería:

Pago 1 → inicio del mes 1

Pago 2 → inicio del mes 2

Pago 3 → inicio del mes 3

...

Pago 12 → inicio del mes 12

En este caso tenemos una renta constante temporal prepagable.

Características de la Renta Constante Temporal Prepagable

Este tipo de renta presenta varias características que permiten diferenciarla de otras operaciones financieras.

1. Las cuotas son constantes

Todos los pagos tienen el mismo importe.

Por ejemplo:

S/500, S/500, S/500, S/500...

No existe un aumento o disminución de las cuotas.

2. Tiene una duración determinada

La renta posee un número específico de períodos.

Por ejemplo:

• 6 meses

• 12 meses

• 24 meses

• 36 meses

Por eso se denomina temporal.

3. Los pagos se realizan por adelantado

Esta es la característica principal.

En una renta prepagable, el pago se realiza al inicio de cada período.

Por ejemplo, si una cuota corresponde al mes de enero, se paga al comenzar enero.

4. Existe una tasa de interés

Para calcular el valor actual o futuro de la renta normalmente se utiliza una tasa de interés por período.

La tasa debe ser coherente con la frecuencia de los pagos.

Por ejemplo, si los pagos son mensuales, debe utilizarse una tasa mensual.

Diferencia entre renta prepagable y renta pospagable

La diferencia fundamental está en el momento en que se realiza cada pago.

Característica	Prepagable	Pospagable
Momento del pago	Al inicio	Al final
Primer pago	Inmediatamente	Al finalizar el primer período
También se conoce como	Renta anticipada	Renta vencida
Factor respecto a la renta pospagable	× (1 + i)	Base

Por ejemplo, si una persona realiza pagos mensuales:

Prepagable:

Inicio → Pago → Período → Pago → Período → Pago

Pospagable:

Período → Pago → Período → Pago → Período → Pago

Esta diferencia modifica el valor financiero de la operación.

Elementos de una Renta Constante Temporal Prepagable

Para resolver este tipo de ejercicios normalmente utilizamos las siguientes variables:

• R = valor de cada renta o cuota.

• n = número de períodos.

• i = tasa de interés por período.

• VA = valor actual de la renta.

• VF = valor futuro de la renta.

Es importante que la tasa y el período de pago tengan la misma frecuencia.

Por ejemplo, si existen pagos mensuales, la tasa utilizada en la fórmula debe corresponder al período mensual.

Fórmula del Valor Actual de una Renta Prepagable

El valor actual permite determinar cuánto valen hoy todas las cuotas futuras de la renta.

Para una renta constante temporal prepagable se utiliza:

$$$$VA=R[1−(1+i)−ni](1+i)VA=R\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right](1+i)

Donde:

VA = valor actual

R = cuota constante

i = tasa de interés por período

n = número de períodos

¿Por qué aparece (1 + i)?

Porque las cuotas de una renta prepagable se realizan al inicio de cada período.

Una forma práctica de recordarlo es:

Renta prepagable = renta pospagable × (1 + i)

Fórmula del Valor Futuro de una Renta Prepagable

Si queremos determinar cuánto acumularán las cuotas al final de la operación, utilizamos:

$$$$VF=R[(1+i)n−1i](1+i)VF=R\left[\frac{(1+i)^n-1}{i}\right](1+i)

Donde:

VF = valor futuro

R = cuota constante

i = tasa de interés por período

n = número de períodos

Al igual que en el valor actual, aparece el factor (1 + i) porque los pagos se realizan anticipadamente.

Ejemplo de Renta Constante Temporal Prepagable

Supongamos que una persona realiza 12 depósitos mensuales de S/1,000, con una tasa de interés del 2 % mensual, efectuando cada depósito al inicio de cada mes.

Tenemos:

• R = S/1,000

• i = 0.02

• n = 12

Queremos calcular el valor futuro de la renta.

Utilizamos:

$$$$VF=R[(1+i)n−1i](1+i)VF=R\left[\frac{(1+i)^n-1}{i}\right](1+i)

Sustituimos los datos:

$$$$VF=1000[(1.02)12−10.02](1.02)VF=1000\left[\frac{(1.02)^{12}-1}{0.02}\right](1.02)

El resultado aproximado es:

$$$$VF=S/13,680.33\boxed{VF=S/13,680.33}

Por lo tanto, después de los 12 períodos, los depósitos habrían acumulado aproximadamente S/13,680.33, considerando una tasa del 2 % mensual y suponiendo que los intereses se capitalizan mensualmente.

Ejemplo de Valor Actual

Ahora supongamos que una persona tiene que realizar 12 pagos mensuales de S/1,000, con una tasa del 2 % mensual, y los pagos son prepagables.

Queremos determinar cuánto representan esos pagos en términos actuales.

Utilizamos:

$$$$VA=R[1−(1+i)−ni](1+i)VA=R\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right](1+i)

Reemplazamos:

$$$$VA=1000[1−(1.02)−120.02](1.02)VA=1000\left[\frac{1-(1.02)^{-12}}{0.02}\right](1.02)

El resultado aproximado es:

$$$$VA=S/10,786.85\boxed{VA=S/10,786.85}

Esto significa que el valor financiero actual de las 12 cuotas es aproximadamente S/10,786.85, bajo las condiciones planteadas.

¿Por qué es importante la Renta Prepagable?

La renta prepagable permite analizar operaciones financieras en las que los pagos se producen antes de que transcurra cada período.

Su importancia se encuentra en diferentes situaciones:

Alquileres

Algunos contratos pueden establecer que el alquiler se pague al inicio de cada mes.

Seguros

Determinadas pólizas pueden requerir pagos anticipados.

Contratos

Algunos servicios pueden cobrarse antes de que comience el período de prestación.

Ahorros

Una persona puede realizar depósitos al comienzo de cada período para aprovechar durante más tiempo los intereses.

Financiamiento

También puede utilizarse para analizar determinadas estructuras de pagos anticipados.

Línea de tiempo de una renta prepagable

Una manera sencilla de comprenderla es mediante una línea de tiempo:

0        1        2        3                 n
|--------|--------|--------|-----------------|
R        R        R        R        ...       R
↑        ↑        ↑        ↑                 ↑
Inicio   Inicio   Inicio   Inicio            Inicio

La característica fundamental es que el primer pago ocurre en el momento 0, es decir, al inicio de la operación.

En una renta pospagable, el primer pago se produciría al finalizar el primer período.

¿Cómo resolver un ejercicio de Renta Constante Temporal Prepagable?

Para resolver un problema puedes seguir estos pasos:

Paso 1: Identificar la cuota

Determina cuánto vale cada pago.

$$$$R=cuotaR = \text{cuota}

Paso 2: Determinar el número de períodos

Identifica cuántos pagos se realizarán.

$$$$n=nuˊmero de perıˊodosn = \text{número de períodos}

Paso 3: Identificar la tasa

Determina la tasa correspondiente al período de pago.

$$$$i=tasa por perıˊodoi = \text{tasa por período}

Paso 4: Comprobar que sea prepagable

Verifica que los pagos se realicen al inicio de cada período.

Paso 5: Elegir la fórmula

Para valor actual:

$$$$VA=R[1−(1+i)−ni](1+i)VA=R\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right](1+i)

Para valor futuro:

$$$$VF=R[(1+i)n−1i](1+i)VF=R\left[\frac{(1+i)^n-1}{i}\right](1+i)

Paso 6: Sustituir los valores

Finalmente, reemplaza las variables por los datos proporcionados en el ejercicio y realiza las operaciones.

Errores frecuentes al resolver una renta prepagable

Uno de los errores más comunes es confundir una renta prepagable con una pospagable.

También es frecuente:

• Utilizar una tasa anual cuando los pagos son mensuales sin convertirla adecuadamente.

• Confundir el número de pagos con el número de períodos.

• Olvidar el factor (1 + i).

• Colocar el primer pago al final del período cuando realmente ocurre al inicio.

• Utilizar una tasa que no corresponde a la frecuencia de los pagos.

Por eso, antes de aplicar una fórmula, es recomendable elaborar una pequeña línea de tiempo.

Renta constante temporal prepagable y matemática financiera

La renta constante temporal prepagable forma parte del estudio de las rentas financieras, utilizadas para analizar series de pagos o cobros que ocurren de manera periódica.

Su análisis permite trasladar los diferentes pagos a un mismo momento del tiempo y determinar su equivalente financiero.

Esto resulta especialmente útil para comparar operaciones financieras que tienen diferentes fechas de pago.

Preguntas frecuentes

¿Qué significa que una renta sea prepagable?

Significa que los pagos se realizan al inicio de cada período.

¿Qué significa que una renta sea temporal?

Significa que la cantidad de pagos está limitada a un número determinado de períodos.

¿Qué significa que una renta sea constante?

Significa que todas las cuotas tienen el mismo valor.

¿Cuál es la diferencia entre una renta prepagable y una pospagable?

La renta prepagable se paga al inicio de cada período, mientras que la pospagable se paga al final de cada período.

¿Cuál es la fórmula del valor actual de una renta prepagable?

La fórmula es:

$$$$VA=R[1−(1+i)−ni](1+i)VA=R\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right](1+i)

¿Cuál es la fórmula del valor futuro de una renta prepagable?

La fórmula es:

$$$$VF=R[(1+i)n−1i](1+i)VF=R\left[\frac{(1+i)^n-1}{i}\right](1+i)

Conclusión

La Renta Constante Temporal Prepagable representa una serie de pagos iguales realizados durante un número determinado de períodos y al inicio de cada período.

Su principal característica frente a una renta pospagable es precisamente el momento en que se realizan los pagos. Esta diferencia se refleja en las fórmulas mediante el factor (1 + i).

Comprender este concepto permite resolver problemas relacionados con valor actual, valor futuro, cuotas, intereses y pagos anticipados, convirtiéndolo en una herramienta importante dentro de la matemática financiera.

INTERÉS SIMPLE | Definición, Calculo y Ejemplos :)

Interés

El interés es el ingreso o excedente que se genera, por una colocación de dinero, a un tipo de interés y a un plazo determinado, y puede ser simple o compuesto. Se entiende por crédito la cantidad que se debe pagar por el uso del dinero a través de un préstamo, depósito o cualquier otra actividad financiera.

Interés simple 

Los intereses son simples cuando al final de cada periodo los intereses obtenidos no se suman al capital inicial (no se capitalizan) para producir nuevos intereses, es decir, el capital permanece invariable y en consecuencia los intereses acumulados también son constantes.

El interés simple es la operación financiera en la que intervienen un capital, un periodo de tiempo y un tipo determinado. En la cual, los intereses obtenidos en cada intervalo de tiempo unitario son los mismos, ya que la base de cálculo es el capital inicial que permanece constante, generando un interés también constante a lo largo del horizonte temporal de la operación financiera.

La adjudicación se produce en el esquema de interés simple, cuando los intereses no se capitalizan o se realiza una única capitalización al final del horizonte temporal en el que se liquida la cuenta.

El interés simple tiene las siguientes características:

para. Los intereses no se capitalizan en cada periodo

b. El horizonte temporal n es un factor y no una potencia

c. La cantidad crece linealmente en el horizonte temporal (en progresión aritmética)

El interés compuesto, a diferencia del interés simple, capitaliza los intereses en cada periodo. Es decir, el interés generado se eleva al capital original en los períodos establecidos y a su vez genera un nuevo interés adicional para el período siguiente, esta operación se denomina capitalización de intereses.

Interés comercial

Se denominan intereses comerciales o bancarios, cuando los cálculos se realizan considerando el año de 12 meses de 30 días cada uno, haciendo un total de 360 días por año.

Interés real o exacto

El interés real o exacto es cuando se obtiene considerando el año de 365 días o 366 días cuando el año es bisiesto.

Período entre dos fechas

Cuando es necesario determinar un periodo de tiempo entre dos fechas, según el calendario o según el número de días que trae cada mes, se excluye el primer día y se empieza a contar a partir del segundo día después del inicio de cualquier operación .

Si el depósito se realiza el 26 de abril y se retira el 30 de abril, se contarán 4 días (30 - 26 = 4), el periodo se obtiene restando los días transcurridos en el mes hasta la realización del depósito.

Para los ingresos y reintegros realizados en periodos superiores a un mes, se hace lo mismo

operación anterior para el primer mes y luego se suman los días de los meses siguientes

incluyendo el día de la retirada.

Ejemplo - Determinar cuántos días transcurrieron entre el 4 de mayo y el 18 de agosto del mismo año, fechas en las que se depositó y retiró capital de un banco.

Resolvemos el ejercicio de la siguiente manera:

Días de mayo (31 - 4) = 27     

                                              Junio = 30

                                               Julio = 31

                                           Agosto = 18

               Total de días transcurridos 106

Periodo bancario o comercial

Según lo regulado por el BCR, el año comercial o bancario consta de 360 días y el año se subdivide según el caso:

Horizonte y Sub horizonte Temporal 

El horizonte temporal de una colocación de dinero, es el intervalo de tiempo que existe entre la apertura y la  liquidación de una cuenta. 

Ejemplo 1.-  Se apertura una cuenta de ahorros en  un banco el 4 de Abril y se cierra el 6 de junio. ¿Cuál es  el horizonte temporal?.  

El horizonte temporal es de 32 días 

El sub horizonte temporal, es una fracción del horizonte temporal, de manera que un horizonte temporal puede contener dos o  más sub horizontes temporales uniformes o no uniformes. 

Ejemplo 2.-  Una empresa obtiene  un préstamo para ser amortizado en un plazo de 120 días, con cuatro cuotas mensuales; en  este caso el horizonte temporal contiene cuatro sub horizontes uniformes de 30 días cada uno.  

Cálculo del Interés Simple 

En el cálculo del  interés simple interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener  un cierto beneficio  llamado interés. 

El interés que se paga por el uso de una suma de dinero tomado en préstamo, depende de las condiciones contractuales, y  varían en razón  directa con  la cantidad de dinero, el tiempo de duración del  préstamo  y la tasa de interés. 

Elementos que intervienen en el cálculo del interés simple: 

I   =   Interés expresado en valores monetarios  

P  =  Valor presente o capital,  expresado en unidades monetarias  

S  =  Monto o valor futuro, expresado en unidades monetarias   

n  =  Número de períodos o tiempo, años, meses, días, etc. 

m  =  Número de periodos en los  que se  divide el año, semestres, meses días, etc. 

i  =  Tasa de interés, anual mensual quincenal, diario, etc.

Fórmula básica:                  

I = P . i . n  

Cuando la tasa es anual y el período unitario menor a un año se tiene: 

Fórmulas derivadas

De la fórmula del interés que para el caso lo consideramos como  básica deducimos las correspondientes fórmulas para el cálculo del capital, la tasa de  interés  y el tiempo. Esto se obtiene despejando el elemento que se desea calcular de la fórmula mencionada.

El capital 

El capital, llamado también valor  presente o  valor actual, es  la  cantidad  inicial de dinero que se coloca en una cuenta a una tasa de interés y un determinado periodo de tiempo, con la finalidad de generar un excedente llamado interés.

Fórmula: 

Cuando la tasa y los periodos unitarios están dados en la misma unidad de tiempo

P   =   I  

              i.n

Ejemplo: ¿Cuál será el capital necesario colocar, en una cuenta que paga el 18% anual, para producir un interés  de S/.1,800 en un periodo de 2 años. 

                P   =      1,800    

                           0.18 x 2 

               P   =   5,000.

Cuando la tasa esta dado en un periodo de tiempo mayor al periodo unitario.              

              P   =     m.I    

                          i.n

Ejemplo.- Calcular que capital será necesario imponer 20% anual durante 8 meses para obtener un interés de S/ 1280.

                       P  =   12x1,280 

                                  0.20x8

                      P  =  9,600  

La Tasa de interés 

Al igual que en el caso anterior la tasa lo despejamos de la fórmula básica:  

Fórmula: 

Siguiendo el mismo razonamiento anterior las fórmulas según el caso están dadas por: 

                   i   =    .I  

                                  .nP

Ejemplo .- ¿A qué tasa de interés mensual estuvo colocado un capital de S/4,000 para que en 6 meses produjera un interés de S/.480?.

  i   =       480     

            6x4,000

  i   =  0.02 

Ejemplo .- ¿A qué tasa de interés anual estuvo colocado un capital de S/. 3,000 para que en 15 meses produjera S/. 750 de interés?

i =      ml   

          nP

i =    12x750  

       15x3,000

i =     9,000   

        45,000

i = 0.20

Número de periodos 

Llamado también plazo, horizonte temporal o tiempo 

Fórmula: 

                       n =      I     

                            P.i

Ejemplo .- Durante que tiempo será necesario colocar la cantidad  de S/.5,200 para que al 22% anual produzca S/. 2,800 de interés? 

                     n  =         2,800         

                               5,200 x 0.22                             

                      n  =  2 años, 5 meses y 11 días. 

Cuando la Tasa no es Anual 

Cuando la tasa de interés está dada en períodos menores a un año, es susceptible de  convertirse en anual, a fin de utilizar  las fórmulas adecuadamente y se obtiene multiplicando  la tasa por 2, 4, 6, 12, etc. Según  este dado en  semestres,  trimestres, bimestres, meses o en cualquier otro período de tiempo.

De manera que podemos convertir las siguientes tasas en anuales:       

      

2%  mensual      =   2 x 12  =   24% anual                     

5%  Trimestral   =   5 x 4    =   20% anual                    

11%  Semestral   =   11 x 2   =   22% anual 

Casos en el cálculo del Interés Simple 

En el cálculo del interés simple se presentan varios casos como los siguientes: 

a.- Interés con  capital y tasa nominal constante 

Es el caso clásico analizado líneas arriba. Cuando  durante el horizonte temporal el capital y la tasa de interés no ha sufrido variaciones. 

Ejemplo.-  Una empresa obtuvo un préstamo  por S/. 8,000, por un período de 10 meses a una tasa del 20% anual. ¿Cuál será  el interés a pagar al término del período. 

   I  =   8 , 000 x 0.20 x 10

                       12                     

  I  =  133.33 

b.   Interés con capital constante y tasa nominal variable 

Este caso se presenta cuando se  efectúan depósitos a plazo  fijo, al cual no se pueden efectuar cargos ni abonos durante el horizonte  temporal. Pero no así la tasa de interés, que está sujeta a las variaciones del mercado financiero. 

Ejemplo .- ¿Cuál será el interés generado por un capital de S/. 6,000 impuesto a plazo fijo durante un año al 12% anual durante los primeros 6 meses y al 14% anual durante el período restante? 

 I  =    6,000 x 0.12 x 6      +      6,000 x 0.14 x 6                            

                      12                                           12

I  =  360 + 420                           

I  =  780 

c. Interés con capital variable y tasa nominal constante 

Cuando analizamos las operaciones de cargos  o abonos efectuados en una cuenta de ahorros o cuenta corriente, nos encontramos  frente a un caso en el que el principal sufre variaciones. 

Ejemplo.- El 10 de abril se apertura una  cuenta de ahorros en un banco con S/.2,000, al 22% de interés anual y luego efectúa las operaciones siguientes dentro del mismo año: El 2 de junio se deposita  S/. 800, el 10 de julio se  retira S/. 500, el 25 de julio se deposita S/. 1,200, el  10 de agosto se retira S/.  1,000 y el 30 de agosto se liquida  la cuenta. Calcular el interés generado durante el  horizonte temporal. 

De acuerdo a lo dispuesto por el BCR  consideramos el mes de 30 días 

  I    =   2,000 x 0.22 x 53   +    2,800 x 0.22 x 38   +   2,300 x 0.22 x 15    +                                              360                                360                               360

             

            3,500 x 0.22 x 16    +    2,500 x 0.22 x 20             

                     360                                360

I   =    64.78  +  65.02  +  21.08  +  34.22  +  30.56             

I    =   215.66 

d. Interés con capital y tasa nominal variables 

Durante el horizonte temporal se presentan casos, en los que además de efectuar operaciones que hagan variar el principal, las condiciones del mercado financiero hacen variar la tasa de interés, lo que debemos tener en cuenta para el cálculo del interés correspondiente. 

Ejemplo.- El 10 de Mayo se apertura una cuenta de ahorros con S/. 1,200 a una tasa de interés anual de 24%, efectuándose posteriormente las operaciones siguientes: El 30 de Mayo un depósito de S/. 500 al 22%, el 20 de Junio un depósito de S/. 800 al 20%, anual el 15 de Julio un retiro de S/. 600, fecha en la que la tasa de interés baja al 18% anual y finalmente el 8 de agosto un retiro de S/. 800 variando la tasa al 20% anual . El propietario de la cuenta, desea saber cuál será el interés generado al 30 de Septiembre del mismo año. 

 I   =   1200 x 0.22 x 20   +    1700 x 0.22 x 21   +   2500 x 20 x 25    +                                                      360                             360                           360                    

           1990 x 0.18 x 24    +    1100 x 0.20 x 53                   

                      360                               360

I   =   16.00   +   21.82   +   34.72   +   22.80   +   32.39                    

I   =   127.73 

Empréstitos :)

El empréstito es una modalidad de financiación por la que una entidad (empresa, organismo público, etc.) que necesita fondos, acude directamente al mercado, en lugar de ir a una entidad financiera.

La entidad divide el préstamo en un gran número de pequeñas partes iguales (participaciones), que coloca entre multitud de inversores. Estas partes del empréstito vienen representadas por "títulos-valores".

Todos los "títulos-valores" correspondientes a una misma emisión presentan las  mismas características: importe, tipo, vencimiento, etc.

La entidad que emite los títulos se denomina "emisor", mientras que el inversor que los suscribe se denomina "obligacionista".

Los "títulos-valores" ofrecen al inversor los siguientes derechos:

a) Recibir periódicamente intereses por los fondos prestados

b) Recuperar los fondos prestados al vencimiento del empréstito

Los empréstitos se clasifican según diversos criterios:

a) Según el emisor: deuda pública (emitida por entidades públicas) y deuda privada  (emitida por empresas).

b) Según el vencimiento: deuda amortizable (si tiene vencimiento) y deuda perpetua (no tiene vencimiento; no obstante, el emisor se suele reservar el derecho de amortizarla cuando lo considere oportuno).

c) Según la modalidad de amortización: con vencimientos periódicos parciales (en cada periodo se amortizan, bien un número determinado de títulos, bien una parte de todos los títulos) y con una única amortización al vencimiento.

d) Según el valor de emisión de los títulos: títulos emitidos a la par (se emiten por su valor nominal), títulos bajo la par (se emiten a un precio inferior a su valor nominal) y títulos sobre la par (se emiten a un precio superior a su valor nominal).

e) Según su valor de amortización: reembolsables por el nominal (su precio de amortización coincide con su valor nominal) y reembolsables con prima de amortización (su precio de amortización es superior a su valor nominal).

f) Según el pago de intereses: pago de intereses periódicos (periódicamente el inversor va recibiendo sus intereses) y "cupón cero" (un único pago de intereses en la fecha de vencimiento final del empréstito).

g) En función de la duración del empréstito: Pagarés (vencimiento inferior a 18 meses), Bonos (vencimiento entre 2 y 5 años) y obligaciones (vencimiento normalmente a más de 5 años).

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Empréstitos cupón cero

En algunos tipos de empréstitos se realiza un único pago de intereses en el momento de amortización de los títulos. Estas emisiones se denominan de "cupón cero".

Dentro de esta categoría se distinguen diversas variantes, destacando:

a) Cuotas periódicas constantes

b) Amortización del mismo número de títulos en cada periodo

Cuotas periódicas constantes

El esquema es similar al de los empréstitos con pago de intereses periódicos y cuota constante. La diferencia está en que en aquel modelo, la cuota periódica incluía intereses sobre el saldo vivo, mientras que ahora (cupón cero) sólo incluye los intereses acumulados de los títulos que se amortizan en ese periodo.

A efectos de simplificar, consideraremos que el tipo de interés es constante durante toda la vida del empréstito.

La cuota periódica se calcula:

Co = M * Ao

Siendo Co el importe inicial del empréstito

Siendo M el importe de la cuota periódica

Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable

De aquí se despeja M. 

Para calcular el número de títulos que se amortiza en cada periodo, empezamos por conocer los del primer periodo:

M = (A1 * Vn) + (1 + i)

Siendo A1 el número de títulos amortizados en el primer periodo

Siendo Vn el valor nominal de cada título

Los títulos que se amortizan en periodos sucesivos se calculan con la siguiente fórmula:

As = A1 * (1 + i)^-(s-1)

Siendo As el número de títulos que se amortiza en el periodo s

La parte de la cuota periódica que corresponde a intereses de los títulos amortizados se calcula fácilmente:

Is = Ms - (A1 * Vn)

Siendo Is los intereses que se pagan en ese periodo

Conociendo este dato, ya se puede completar el cuadro de amortización.

Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y tipo de interés constante del 6%. Las cuotas anuales son constantes y los interese se pagan en el momento de amortización de cada título.

Calcular el cuadro de amortizaciones:

La cuota periódica se calcula:

Co = M * Ao

Luego, Co = M * ((1 - (1 + i)^-n) / i)

Luego, 50.000 = M * 4,2123

Luego, M = 11.869,82 millones ptas.

A continuación, se calcula el número de títulos que se amortiza en el primer periodo:

M = (A1 * Vn) * (1 + i)

Luego, 11.869,82 = (A1 * 0,05) + (1 + 0,06) (el valor nominal del título está expresado en millones de ptas.)

Luego, A1 = 223.959 títulos

Ya se puede calcular el resto del calendario de amortización:

A2	223.959 * (1 + 0,06)^-1	211.282 títulos
A3	223.959 * (1 + 0,06)^-2	199.323 títulos
A4	223.959 * (1 + 0,06)^-3	188.040 títulos
A5	223.959 * (1 + 0,06)^-4	177.396 títulos

Y se puede completar el cuadro de amortizaciones:

	Nº de títulos			Cuota periódica			Saldo vivo del empréstito
Periodo	Vivos	Amortizados en periodo	Amortiz. acumulados	Amortiz. de capital	Intereses	Cuota periódica
				(Millones ptas.)	(Millones ptas.)	(Millones ptas.)	(Millones ptas.)
año 0	1.000.000	0	0	0	0	0	50.000
año 1	776.041	223.959	223.959	11.197,9	671,9	11.869,8	38.802,1
año 2	564.759	211.282	435.241	10.564,1	1.305.7	11.869,8	28.238,0
año 3	365.436	199.323	634.564	9.966,1	1.903,6	11.869,8	18.271,9
año 4	177.396	188.040	822.604	9.402,0	2.467,8	11.869,8	8.869,8
año 5	0	177.396	1.000.000	8.869,8	3.000,0	11.869,8	0

                                                              

Amortización del mismo número de títulos en cada periodo

En este tipo de empréstitos en cada periodo se amortiza el mismo número de títulos:

A = n / p

Siendo A el número de títulos que se amortiza en cada periodo

Siendo n el número total de títulos emitidos

Siendo p el número de periodos

Conociendo este dato, se conoce el calendario de amortización y la evolución del saldo vivo del empréstito.

Y el importe de la cuota periódica se calcula:

Ms = (A * Vn) * (1 + i)^s

Si a la cuota del periodo se le resta la parte de amortización de capital (A * Vn) hallamos los intereses pagados en ese periodo.

Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y el tipo de interés es el 6%. Se amortiza el mismo número de títulos en cada periodo y los intereses se pagan en el momento de amortización de cada título.

Calcular el cuadro de amortizaciones.

El número de títulos que se amortiza en cada periodo:

A = n / p

luego, A = 1.000.000 / 5

luego, A = 200.000 títulos en cada periodo

Veamos el cuadro de amortizaciones:

	Nº de títulos			Cuota periódica			Saldo vivo del empréstito
Periodo	Vivos	Amortizados en periodo	Amortiz. acumulados	Amortiz. de capital	Intereses	Cuota periódica
				(Millones ptas.)	(Millones ptas.)	(Millones ptas.)	(Millones ptas.)
año 0	1.000.000	0	0	0	0	0	50.000
año 1	800.000	200.000	200.000	10.000	600	10.600	40.000
año 2	600.000	200.000	400.000	10.000	1.236	11.236	30.000
año 3	400.000	200.000	600.000	10.000	1.910	11.910	20.000
año 4	200.000	200.000	800.000	10.000	2.625	12.625	10.000
año 5	0	200.000	1.000.000	10.000	3.382	13.382	0

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