En algunos tipos de
empréstitos se realiza un único pago de intereses en el momento de amortización
de los títulos. Estas emisiones se denominan de "cupón cero".
Dentro de esta categoría
se distinguen diversas variantes, destacando:
a) Cuotas periódicas
constantes
b) Amortización del mismo
número de títulos en cada periodo
Cuotas periódicas
constantes
El esquema es similar al
de los empréstitos con pago de intereses periódicos y cuota constante. La
diferencia está en que en aquel modelo, la cuota periódica incluía intereses
sobre el saldo vivo, mientras que ahora (cupón cero) sólo incluye los intereses
acumulados de los títulos que se amortizan en ese periodo.
A efectos de simplificar,
consideraremos que el tipo de interés es constante durante toda la vida del
empréstito.
La cuota periódica se
calcula:
Co = M
* Ao
|
Siendo Co el
importe inicial del empréstito
|
Siendo M el
importe de la cuota periódica
|
Siendo Ao el
valor actual de una renta constante, pospagable
|
De aquí se despeja
M.
Para calcular el número
de títulos que se amortiza en cada periodo, empezamos por conocer los del
primer periodo:
M = (A1 *
Vn) + (1 + i)
|
Siendo A1 el
número de títulos amortizados en el primer periodo
|
Siendo Vn el
valor nominal de cada título
|
Los títulos que se
amortizan en periodos sucesivos se calculan con la siguiente fórmula:
As = A1 *
(1 + i)^-(s-1)
|
Siendo As el
número de títulos que se amortiza en el periodo s
|
La parte de la cuota
periódica que corresponde a intereses de los títulos amortizados se calcula
fácilmente:
Is = Ms -
(A1 * Vn)
|
Siendo Is los
intereses que se pagan en ese periodo
|
Conociendo este dato, ya
se puede completar el cuadro de amortización.
Veamos un ejemplo:
Se emiten obligaciones
por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de
50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y tipo de interés constante
del 6%. Las cuotas anuales son constantes y los interese se pagan en el momento
de amortización de cada título.
Calcular el cuadro de
amortizaciones:
La cuota periódica se
calcula:
Co = M
* Ao
|
Luego, Co = M * ((1 - (1
+ i)^-n) / i)
|
Luego, 50.000 = M *
4,2123
|
Luego, M = 11.869,82
millones ptas.
|
A continuación, se
calcula el número de títulos que se amortiza en el primer periodo:
M = (A1 *
Vn) * (1 + i)
|
Luego, 11.869,82 = (A1 *
0,05) + (1 + 0,06) (el valor nominal del título está expresado en
millones de ptas.)
|
Luego, A1 =
223.959 títulos
|
Ya se puede calcular el
resto del calendario de amortización:
A2
|
223.959 * (1 + 0,06)^-1
|
211.282 títulos
|
A3
|
223.959 * (1 + 0,06)^-2
|
199.323 títulos
|
A4
|
223.959 * (1 + 0,06)^-3
|
188.040 títulos
|
A5
|
223.959 * (1 + 0,06)^-4
|
177.396 títulos
|
Y se puede completar el
cuadro de amortizaciones:
Nº de títulos
|
Cuota periódica
|
Saldo vivo del
empréstito
|
|||||
Periodo
|
Vivos
|
Amortizados en periodo
|
Amortiz. acumulados
|
Amortiz. de capital
|
Intereses
|
Cuota periódica
|
|
(Millones ptas.)
|
(Millones ptas.)
|
(Millones ptas.)
|
(Millones ptas.)
|
||||
año 0
|
1.000.000
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
50.000
|
año 1
|
776.041
|
223.959
|
223.959
|
11.197,9
|
671,9
|
11.869,8
|
38.802,1
|
año 2
|
564.759
|
211.282
|
435.241
|
10.564,1
|
1.305.7
|
11.869,8
|
28.238,0
|
año 3
|
365.436
|
199.323
|
634.564
|
9.966,1
|
1.903,6
|
11.869,8
|
18.271,9
|
año 4
|
177.396
|
188.040
|
822.604
|
9.402,0
|
2.467,8
|
11.869,8
|
8.869,8
|
año 5
|
0
|
177.396
|
1.000.000
|
8.869,8
|
3.000,0
|
11.869,8
|
0
|
Amortización del mismo
número de títulos en cada periodo
En este tipo de
empréstitos en cada periodo se amortiza el mismo número de títulos:
A = n / p
|
Siendo A el
número de títulos que se amortiza en cada periodo
|
Siendo n el
número total de títulos emitidos
|
Siendo p el
número de periodos
|
Conociendo este dato, se
conoce el calendario de amortización y la evolución del saldo vivo del
empréstito.
Y el importe de la cuota
periódica se calcula:
Ms = (A
* Vn) * (1 + i)^s
|
Si a la cuota del periodo
se le resta la parte de amortización de capital (A * Vn) hallamos los intereses
pagados en ese periodo.
Veamos un ejemplo:
Se emiten obligaciones
por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de
50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y el tipo de interés es el 6%.
Se amortiza el mismo número de títulos en cada periodo y los intereses se pagan
en el momento de amortización de cada título.
Calcular el cuadro de
amortizaciones.
El número de títulos que
se amortiza en cada periodo:
A = n / p
|
luego, A =
1.000.000 / 5
|
luego, A = 200.000
títulos en cada periodo
|
Veamos el cuadro de
amortizaciones:
Nº de títulos
|
Cuota periódica
|
Saldo vivo del
empréstito
|
|||||
Periodo
|
Vivos
|
Amortizados en periodo
|
Amortiz. acumulados
|
Amortiz. de capital
|
Intereses
|
Cuota periódica
|
|
(Millones ptas.)
|
(Millones ptas.)
|
(Millones ptas.)
|
(Millones ptas.)
|
||||
año 0
|
1.000.000
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
50.000
|
año 1
|
800.000
|
200.000
|
200.000
|
10.000
|
600
|
10.600
|
40.000
|
año 2
|
600.000
|
200.000
|
400.000
|
10.000
|
1.236
|
11.236
|
30.000
|
año 3
|
400.000
|
200.000
|
600.000
|
10.000
|
1.910
|
11.910
|
20.000
|
año 4
|
200.000
|
200.000
|
800.000
|
10.000
|
2.625
|
12.625
|
10.000
|
año 5
|
0
|
200.000
|
1.000.000
|
10.000
|
3.382
|
13.382
|
0
|