Préstamos con amortización de capital constante

Este tipo de préstamo se caracteriza porque la amortización de capital es constante en todas las cuotas del préstamo. También, y a efectos de simplificar, vamos a considerar que el tipo de interés es constante durante toda la operación, aunque este requisito no es necesario.

En este tipo de préstamo se calcula fácilmente el importe de la amortización de capital constante, basta con dividir el importe del préstamo por el número de periodos.

AMs = Co / n

(Siendo "Co" el importe del préstamo y "n" el número de periodos)

Una vez conocido el importe de la amortización constante de capital, se puede conocer como evoluciona el saldo vivo del préstamo, así como el capital amortizado:

Ss= Co - S AMk	Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y S AMk la suma de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento
CAs = S AMk	Siendo CAs el capital amortizado hasta el momento "s"

Para calcular la cuota periódica del préstamo partimos de la fórmula:

Ms = AMs + Is

(Siendo "Ms" la cuota correspondiente al periodo "s" y "Is" el importe de los intereses de dicho periodo)

Como ya conocemos AM_s, sólo nos falta calcular el importe de los intereses para poder conocer el importe de la cuota periódica. El importe de los intereses de cada periodo se calcula aplicando la siguiente fórmula:

Is = Ss-1 * i * t

(Siendo "Is" los intereses del periodo "s", "Ss-1" el saldo vivo al final del periodo anterior; "i" el tipo de interés aplicado y "t" la duración del periodo)

Las cuotas periódicas de este tipo de préstamo son decrecientes, ya que mientras que la parte correspondiente a amortización de capital es constante, los intereses van disminuyendo, ya que el saldo vivo se va reduciendo.

Veamos un ejemplo:

Un banco concede un préstamo de 7.000.000 ptas., a un plazo de 7 años, con un tipo de interés constante del 10%. En las cuotas periódicas, la amortización de capital es constante durante toda la vida de la operación.

Calcular:

a) Importe de la amortización de capital constante

b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado

c) Importe de los intereses

d) Cuota de amortización

SOLUCION

a ) Importe correspondiente a la devolución de principal:

Aplicamos la fórmula  AMs = Co / n

luego, AMs = 7.000.000 / 7

luego, AMs = 1.000.000

Por lo tanto, la amortización de capital en cada periodo, durante toda la operación, es de 1.000.000 ptas.

b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:

Periodo	Saldo vivo	Capital amortizado
0	7.000.000	0
1	6.000.000	1.000.000
2	5.000.000	2.000.000
3	4.000.000	3.000.000
4	3.000.000	4.000.000
5	2.000.000	5.000.000
6	1.000.000	6.000.000
7	0	7.000.000

c ) Importe de los intereses en cada cuota periódica:

Aplicamos la fórmula  Is = Ss-1 * i * t

Periodo	Intereses
1	700.000
2	600.000
3	500.000
4	400.000
5	300.000
6	200.000
7	100.000

d ) Cuotas periódicas:

Aplicamos la fórmula  Ms = AMs + Is

Periodo	Cuota
1	1.700.000
2	1.600.000
3	1.500.000
4	1.400.000
5	1.300.000
6	1.200.000
7	1.100.000

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Ejercicios Préstamos con cuotas de amortización constantes

Ejercicio 1: Una entidad financiera concede un préstamo de 6.000.000 ptas., por un plazo de 5 años, con cuotas de amortización semestrales y con un tipo de interés anual del 12%.

Calcular:

a) Cuota constante de amortización

b) Importe que corresponde a la amortización de capital y a los intereses

c) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado

SOLUCIÓN

1.- Cuota constante de amortización

Primero se calcula el tipo semestral equivalente:

(1 + i) = (1 + i2)^2

luego, i2 = 5,83%

Una vez conocido el tipo semestral, pasamos a calcular el valor de Ao (valor actual de una renta unitaria, pospagable, de 10 semestre de duración, con un tipo de interés semestral del 5,83%)

Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i

luego, Ao = (1 - (1 + 0,0,583)^-10)/ 0,0583

luego, Ao = 7,4197

A continuación se calcula el valor de la cuota constante

luego, M = 6.000.000 / 7,4197

luego, M = 808.655 ptas.

Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 808.655 ptas.

2.- Parte de la cuota correspondiente a amortización de principal y a intereses:

Comenzamos calculando la amortización de capital correspondiente al primer periodo

Sabemos que  I1 = Co * i * t

luego, I1 = 6.000.000 * 0,0583 * 1

luego, I1 = 349.800 ptas.

Ya podemos despejar AM1 de la fórmula AM1 = M1 - I1

luego, AM1 = 808.655 - 349.800

luego, AM1 = 458.855 ptas.

El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la siguiente fórmula:

AMk = AM1 * (1 + i)^k-1

También vamos a calcular el importe que representan los intereses dentro de cada cuota:

Partiendo de la fórmula Ms = AMs + Is

se despeja Is = Ms - AMs

Periodo	Amort. de capital	Intereses
1º semestre	458.855	349.800
2º semestre	485.606	323.049
3º semestre	513.917	294.738
4º semestre	543.878	264.777
5º semestre	575.587	233.068
6º semestre	609.143	199.512
7º semestre	644.656	163.999
8º semestre	682.240	126.415
9º semestre	722.014	86.641
10º semestre	764.108	44.547
Suma	6.000.000
La suma de todas las amortizaciones de capital coincide con el importe inicial del préstamo. Por otra parte, la suma en cada periodo de la parte de amortización de capital y de los intereses coincide con el importe de la cuota constante.
3.- Saldo vivo del préstamo y capital ya amortizado en cada periodo:
Se aplican las fórmulas:
Ss= Co - S Ak
CAs = S Ak

Periodo	Saldo vivo	Capital amortizado
Periodo 0	6.000.000	0
1º semestre	5.541.145	458.855
2º semestre	5.055.539	944.461
3º semestre	4.541.622	1.458.378
4º semestre	3.997.744	2.002.256
5º semestre	3.422.157	2.577.843
6º semestre	2.813.014	3.186.986
7º semestre	2.168.358	3.831.642
8º semestre	1.486.118	4.513.882
9º semestre	764.108	5.235.896
10º semestre	0	6.000.000

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El Préstamo

El préstamo es una operación financiera en la que el Banco entrega al cliente un importe y este se compromete a devolverlo en uno o varios pagos. Los préstamos suelen ser operaciones a largo plazo.

En el préstamo se puede distinguir:

C₀: Importe inicial de la operación.

M_s: Cuota de amortización. Es la cantidad que periódicamente se irá pagando. Este importe puede ser constante o puede ir variando. El subíndice "s" indica el periodo de la vida del préstamo al que corresponde dicha cuota.

S_s: Es el saldo pendiente de capital, es decir, la parte del importe inicial que aún no se ha amortizado hasta el momento "s".

CA _s: Capital amortizado. Es la parte del importe inicial que se ha amortizado hasta el momento "s".

Entre estos conceptos se pueden establecer una serie de relaciones:

Cuota periódica		Ms= AMs + Is		La cuota que se paga periódicamenteestá formada por dos componentes:AMs es la devolución de principal que se realiza en ese periodo; Is son los intereses que se pagan correspondientes  a ese periodo.
Intereses del periodo		Is = Cs-1 * i * t		Los intereses del periodo "s" son iguales al saldo de la operación al comienzo del periodo, por el tipo de interés y por la duración del periodo.
Capital inicial		Co = S AMk		El capital inicial es igual a la suma de todas las amortizaciones parciales de capital que se van a realizar a lo largo de la vida de la operación.
Saldo vivo de la operación en el momento "s"		Ss= S Mk (1+i)^k-s		El saldo vivo de la operación en el momento "s" es igual a la suma de todas las cuotas periódicas pendientes de vencer, descontadas a esa fecha.
		Ss= Co - S AMk		También se puede calcular restando al importe inicial de la operación las amortizaciones de capital que ya se hayan realizado.
Capital amortizado		CAs = S AMk		El capital amortizado en el momento "s" es la suma de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta dicho momento.
		CAs = Co- Ss		También se puede calcular como la diferencia entre el capital inicial y el saldo pendiente de amortizar al momento "s".

En las operaciones de préstamos se pueden distinguir algunos casos particulares que estudiaremos en las próximas lecciones:

a) Préstamo con cuota de amortización constante

b) Préstamo con devolución de principal constante 

c) Préstamo con una sola devolución de principal al vencimiento

d) Préstamo con periodo de carencia

e) Préstamo con diferentes tipos de interés a lo largo de la vida de la operación 

f) Préstamo con intereses anticipados.

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