La
renta perpetua constante es aquella de duración infinita, en la que los
importes de capital son siempre iguales (p.e. un título de deuda pública a
perpetuidad a tipo fijo).
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A) RENTAS PERPETUAS POSPAGABLES
Al
igual que las rentas temporales, las rentas perpetuas pueden ser pospagables
(los importes se originan al final de cada subperiodo) o prepagables (se
originan al principio de los subperiodos).
Comenzaremos
viendo el caso más sencillo, el de las rentas unitarias:
Periodo
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
.....
|
.....
|
.....
|
.....
|
.....
|
xx
|
||||||||||
Importe (dólares)
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Vamos
a calcular su valor actual, que representaremos por APo. Vamos
descontando cada importe:
Periodo
|
Importe
|
Importe descontado
|
x
|
x
|
x
|
1
|
1
|
1 / ( 1 + i )
|
2
|
1
|
1 / ( 1 + i )^2
|
3
|
1
|
1 / ( 1 + i )^3
|
4
|
1
|
1 / ( 1 + i )^4
|
5
|
1
|
1 / ( 1 + i )^5
|
.....
|
1
|
1 / ( 1 + i )^....
|
.....
|
1
|
1 / ( 1 + i )^....
|
.....
|
1
|
1 / ( 1 + i )^....
|
La
suma de todos los importes descontados es el valor actual APo.
Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
APo = 1 / i
Veamos
un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de
1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:
Aplicamos la fórmula APo = 1 / i
|
x
|
luego, APo = 1 / 0,16
|
luego, APo = 6,25 dólares.
|
Si
en lugar de una renta unitaria, estamos analizando una renta de importe
constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:
Vo = C * APo = C / i
Veamos
un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral pospagable
de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%:
Como los importes son semestrales tendremos que
utilizar la base semestral
|
x
|
Tipo de interés semestral: 1
+ i = (1 + i2)^2
|
Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2
|
Luego, i2 = 4,88%
|
x
|
Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo
= C / i
|
luego, Vo =
1.000.000 / 0,0488
|
luego, Vo =
20.491.803 dólares.
|
En
las rentas perpetuas no se puede calcular valor final (ya que nunca finalizan).
B) RENTAS PERPETUAS PREPAGABLES
Calculamos
el valor actual de una renta unitaria, que representaremos por ÄPo.
Periodo
|
Importe
|
Importe descontado
|
x
|
x
|
x
|
1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
1 / ( 1 + i )
|
3
|
1
|
1 / ( 1 + i )^2
|
4
|
1
|
1 / ( 1 + i )^3
|
5
|
1
|
1 / ( 1 + i )^4
|
.....
|
1
|
1 / ( 1 + i )^....
|
.....
|
1
|
1 / ( 1 + i )^....
|
.....
|
1
|
1 / ( 1 + i )^....
|
Si
realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
ÄPo = (1 + i) / i
Veamos
un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual prepagable de 1 peseta, con un
tipo de interés anual del 16%:
Aplicamos la fórmula ÄPo = (1 + i) / i
|
x
|
luego, ÄPo = (1 + 0,16) / 0,16
|
luego, ÄPo = 7,25 dólares.
|
Si
la renta es de importe constante "C", entonces la fórmula del valor
actual será:
Vo = C * ÄPo = C * (1 + i) / i
Veamos
un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral prepagable
de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%:
Aplicamos la fórmula de valor actual, Vo
= C * (1 + i) / i
|
luego, Vo =
1.000.000 * 1,0488 / 0,0488
|
luego, Vo =
21.491.803 dólares.
|
La
relación entre el valor actual de una renta perpetua pospagable APo y
el de una renta perpetua prepagable ÄPo es la siguiente:
ÄPo = (1 + i) * APo