SUPER AULA

La Compra y Venta de Acciones

Cuando se compran acciones el importe efectivo que se paga por ellas viene determinado por la fórmula:

I_c= (N_c* P_c) + C_c
x
Siendo " I_c" el importe efectivo de la compra
" N_c" el número de acciones adquiridas
" P_c" el precio pagado por acción
" C_c" las comisiones pagadas en la compra

Ejemplo: se adquieren 1.000 acciones de Telefónica que cotizan en ese momento a 3.000 ptas. Se pagan unas comisiones de 15.000 ptas. Calcular el importe de la adquisición.

I_c= (N_c* P_c) + C_c
Luego, I_c= (1.000 * 3.000) + 15.000
Luego, I_c= 3.017.000 ptas.

Durante el tiempo en que se mantienen las acciones se irán recibiendo dividendos, pero también habrá que pagar comisiones de custodia.

Cuando se venden las acciones el importe recibido viene determinado por la siguiente fórmula:

I_v = (N_v * P_v) - C_v
x
Siendo " I_v" el importe efectivo de la venta
" N_v" el número de acciones que se venden
" P_v" el precio de venta por acción
"C_c" las comisiones pagadas en la venta

Ejemplo: las acciones que compramos en el ejemplo anterior se venden 9 meses después a 3.150 ptas. cada acción. Las comisiones de venta ascienden a 12.000 ptas. Calcular el importe ingresado por la venta.

I_v = (N_v * P_v) - C_v
Luego, I_v = (1.000 * 3.150) - 12.000
Luego, I_v = 3.138.000 ptas.

Para calcular la rentabilidad que se obtiene en este tipo de inversiones hay que distinguir:

a) Operaciones a corto plazo (< 12 meses) se aplica la ley de capitalización simple.

b) Operaciones a largo plazo (> 12 meses) se aplica la ley de capitalización compuesta.

OPERACIONES A CORTO PLAZO

En este tipo de operaciones, para calcular la rentabilidad que se obtiene, se aplica la siguiente fórmula:

r = (D - C_m + I_v - I_c) * (1 - t) / I_c
x
Siendo " r " la rentabilidad obtenida en la operación
" D " los dividendos percibidos
" C_m" las comisiones de custodia pagadas
" I_v " el importe de la venta
" I_c" el importe de la compra
" t " el tipo impositivo marginal que paga el inversor

Analicemos la fórmula anterior:

El paréntesis (D - C_m + I_v - I_c) determina el ingreso bruto que percibe el inversor.
x
No obstante, el inversor tiene que pagar impuestos por los beneficios obtenidos, por lo que su beneficio neto viene determinado por el beneficio bruto multiplicado por (1 - t).

Ejemplo: en el ejemplo anterior, el inversor recibe durante los 9 meses que ha mantenido las acciones, dividendos por 100.000 ptas. y ha pagado comisiones de custodia por 20.000 ptas. Su tipo impositivo marginal es el 30%. Calcular la rentabilidad obtenida:

r = (D - C_m + I_v - I_c) * (1 " - t) / I_c
luego, r = (100.000 - 20.000 + 3.138.000 - 3.017.000) (1 - 0,3) / 3.017.000
luego, r = 4,66%
x
Esta rentabilidad la ha obtenido el inversor en un plazo de 9 meses. Su equivalente anual sería r = 4,66 * 12 / 9 = 6,21%

OPERACIONES A LARGO PLAZO

Para calcular la rentabilidad de este tipo de operaciones se aplica la ley de equivalencia financiera:

La rentabilidad de la operación es el tipo de interés que iguala en el momento inicial la prestación (importe de la adquisición) y la contraprestación (importe de la venta y dividendos percibidos durante ese periodo de tenencia, menos las comisiones de custodia pagadas).

Supongamos que una inversión en acciones origina los siguientes flujos monetarios durante el periodo de tenencia:

Periodo	Tipo de flujo	Comisión de custodia
x
año 0	Compra de las acciones	- Ic
año 1	Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia	+ D₁ - Cm₁
año 2	Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia	+ D₂- Cm₂
...	.......	...
año (n-2)	Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia	+ D_n-2 - Cm_n-2
año (n-1)	Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia	+ D_n-1- Cm_n-1
año (n)	Se cobran dividendos, se paga comisión de custodia y se venden las acciones	+ D_n- Cm_n+ Iv
x
Siendo " Ic " el precio pagado por la compra (incluyendo comisiones)
Siendo " D₁ " los dividendos percibidos el primer año
Siendo " Cm₁ " la comisión de custodia pagada el primer año
Siendo " Iv " el precio de venta (descontando las comisiones pagadas)

Todos estos flujos se descuentan al momento inicial y se iguala prestación con contraprestación. El tipo " i_e" nos da la rentabilidad anual efectiva de la operación.

Periodo	Prestación	Contraprestación
	(Valor en el momento 0)	(Valor en el momento 0)
x
año 0	- Ic
año 1		+ ((D₁ - Cm₁) * (1 -t)) / (1 + ie)
año 2		+ ((D₁ - Cm₁) * (1 -t)) / (1 + ie)^²
...		...
año (n-2)		+ ((D₁ - Cm₁) * (1 -t)) / (1 + ie)^^n-2
año (n-1)		+ ((D₁ - Cm₁) * (1 -t)) / (1 + ie)^^n-1
año (n)		+ ((D₁ - Cm₁) * (1 -t)) / (1 + ie)^ⁿ
		+ (Iv - (Iv - Ic) * (1-t)) / (1 + ie)^ⁿ

¿Que hemos hecho?

Hemos llevado al momento 0 todos los flujos. La prestación (la compra de las acciones) no se ha descontado ya que se encontraba en el momento inicial.

Cada flujo de la contraprestación (beneficios = dividendos - comisiones pagadas) se ha multiplicado por (1 - t) para depurar el efecto del pago de impuestos.

El último año hemos descontado, por una parte, el dividendo menos las comisiones, y por otra, los ingresos por la venta. A estos ingresos por venta le hemos restado los impuestos que se producen por las plusvalías obtenidas (Iv - Ic).

Ejemplo: Se adquieren 1.000 acciones de Telefónica por 3.000 ptas. cada una. Se paga una comisión de compra de 15.000 ptas. Estas acciones se venden 3 años más tarde por 3.150 ptas. cada acción. Las comisiones de venta ascienden a 12.000 ptas.

Durante este periodo se han cobrado los siguientes dividendos y se han pagado las siguientes comisiones de custodia:

Periodo	Dividendos	Comisión de custodia
x
1º año	+50.000	-12.000
2º año	+60.000	-15.000
3º año	+70.000	-18.000

Calcular la rentabilidad de la operación:

Se aplica la ley de equivalencia financiera
x
luego,	Prestación	=	Contraprestación

	3.017.000		((50.000-12.000)*(1-0,3)/(1+i_e)) +
			((60.000-15.000)*(1-0,3)/(1+i_e)^²) +
			((70.000-18.000)*(1-0,3)/(1+i_e)^³) +
			+ (((3.138.000)+(3.138.000-3.017.000)*(1-0,3))/(1 + i_e)^³))
x
luego, ie = 3,2412%
x
Por lo tanto, la rentabilidad anual obtenida en esta operación ha sido de 3,24% ANTERIOR INDICE SIGUIENTE

MATEMÁTICA FINANCIERA

La Cuenta de Crédito

En la cuenta de crédito la entidad financiera pone a disposición del cliente un límite máximo de endeudamiento, del que éste irá disponiendo en función de sus necesidades.

La cuenta de crédito funciona como una cuenta corriente: el cliente podrá disponer, pero también podrá ingresar; de hecho, el saldo puede ser ocasionalmente a su favor.

El banco establece dos tipos de interés: uno que aplica a los saldos deudores, y otro inferior, similar al de las cuentas corrientes, con el que remunera los saldos acreedores.

El banco puede admitir que el cliente en ocasiones puntuales pueda disponer por encima del límite autorizado, pero en estos casos le aplicará un tipo de penalización durante el tiempo en que el crédito se encuentre excedido.

Las cuentas de crédito suelen llevar comisiones, destacando la comisión de apertura (entorno al 0,5% del límite concedido) y la comisión por límite no dispuesto (por ejemplo: si se solicita un crédito de 5 millones ptas. y el saldo medio utilizado es de 3 millones, esta comisión se aplica sobre los 2 millones restantes).

Ejemplo:

Un cliente apertura una cuenta de crédito con un límite de 3.000.000 ptas. y vencimiento a 1 año. El banco establece un tipo del 12% para los saldos deudores, del 24% para los saldos excedidos, y remunera con el 3% los saldos acreedores.

El banco aplica una comisión de apertura del 0,5% y una comisión sobre límite no dispuesto del 0,25%.

Transcurrido el primer trimestre, el saldo medio dispuesto ha sido de 2.500.000 ptas., ha habido un saldo medio excedido de 200.000 ptas., y un saldo medio acreedor de 300.000 ptas.

Calcular la liquidación de la cuenta de este primer trimestre, así como el tipo TAE de este periodo.

a) Liquidación de la cuenta (se aplica la ley de capitalización simple I = C * i * t)
x
Comisión de apertura	3.000.000 * 0,005 =	- 15.000
Intereses deudores (ordinarios)	2.500.000 * 0,12 * 0,25 =	- 75.000
(se utiliza la base anual: un trimestre es igual a 0,25 años)
Intereses deudores (excedidos)	200.000 * 0,24 * 0,25 =	- 12.000
Intereses acreedores	300.000 * 0,03 * 0,25 =	+ 2.250
Comisión s/saldo medio no disp.	500.000 * 0,0025=	- 1.250
x
Total liquidación		- 101.000
x
b) TAE de la operación
x
Se calcula el tipo efectivo para el trimestre; para ello se suman los intereses y las comisiones pagadas, y se divide entre el saldo medio deudor
x
La comisión de apertura se divide entre 4 trimestres (duración de la operación), asignándole a este primer trimestre una cuarta parte.
x
Por lo tanto, ie = (75.000 + 12.000 + 3.750 + 1.250)/( 2.500.000 + 200.000)
"ie" es el tipo efectivo
3.750 ptas. corresponden a la comisión de apertura (una cuarta parte de 15.000 ptas.)
No consideramos ni el saldo medio acreedor, ni los intereses pagados al cliente
luego, ie = 3,4074%
x
Por lo tanto, el tipo de interés efectivo de la operación durante el primer trimestre ha sido del 3,407%
x
Una vez calculado el tipo efectivo, se calcula su tipo anual equivalente (TAE)
x
luego, 1 + i = (1 + i4)^⁴ (siendo "i" el tipo TAE)
luego, i = 14,34%
x
El TAE de este crédito durante el primer trimestre ha sido del 14,34%

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MATEMÁTICA FINANCIERA

La Rentabilidad Letras del Tesoro

Las Letras del Tesoro son títulos de Deuda Pública emitidos por el Estado para su financiación. Su plazo de vencimiento suele ser inferior a 18 meses y presentan la peculiaridad de que se emiten a descuento.

Es decir, el suscriptor al comprar paga menos que el valor nominal del título, mientras que en el momento del vencimiento recibe dicho valor nominal. Este menor precio en el momento de la compra es la rentabilidad que ofrece el título.

Para calcular la rentabilidad que obtiene el inversor hay que distinguir entre Letras con vencimiento a menos de 1 año y a más de 1 año:

a) Si vence antes de 1 año, se aplica la ley de capitalización simple

P (1 + i * t) = N
Siendo "P" el precio que paga por la Letra
"N" el valor nominal de la letra (importe que recibe al vencimiento)

b) Si vence a más de 1 año se aplica la ley de capitalización compuesta

P (1 + i )^^t = N

Al suscribir y al vencer la Letra, la entidad financiera suele cobrar comisiones, que en el primer caso incrementan el precio de compra y en el segundo caso disminuyen el importe recibido en el reembolso.

Estas comisiones hay que incorporarlas en las fórmulas anteriores para calcular la rentabilidad de las letras. Por tanto:

a) Vencimiento a menos de 1 año:

(P + C_c) * (1 + i * t) = N - C_v
Siendo "C_c" la comisión de compra
"C_v" la comisión de venta

b) Vencimiento a más de 1 año:

x
(P + C_c) * (1 + i )^^t = N - C_v

Ejemplo: Se suscribe una Letra del Tesoro de 1.000.000 ptas. con vencimiento a 6 meses. El precio de compra es de 950.000 ptas., con una comisión de 5.000 ptas. En el momento del reembolso se aplica otra comisión de 4.000 ptas. Calcular la rentabilidad efectiva para el cliente:

Al ser una operación a menos de 1 año se aplica la ley de capitalización simple
x
Por lo tanto, (P + C_c)* (1 + i * t) = N - C_v
(Hay que despejar "i" que nos da la rentabilidad efectiva para el cliente
luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i * 0,5) = 1.000.000 - 4.000 ( plazo en base anual)
luego, i = 8,586%
x
Por lo tanto, la rentabilidad (anual) que obtiene el inversor en esta operación es del 8,586%

¿Y si el vencimiento de esta letra fuera a 15 meses?:

En este caso, al ser una operación a más de 1 año, se aplica la ley de capitalización compuesta
x
Por lo tanto, (P + C_c)*(1 + i )^t = N - C_v
luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i )^^1,25 = 1.000.000 - 4.000
luego, i = 3,42%
x
Por lo tanto, la misma operación que en el caso anterior, pero a un plazo de 15 meses, estaría dando una rentabilidad del 3,42%

El comprador puede vender la Letra antes de su vencimiento. Para calcular la rentabilidad obtenida se aplicaría la misma fórmula, ajustando el tiempo al periodo en que ha sido titular de la Letra.

Ejemplo: en el caso anterior (Letra con vencimiento a 15 meses) el comprador la vende transcurrido únicamente 7 meses, por un precio de 975.000 ptas. En esta venta no paga comisiones. Calcular la rentabilidad obtenida:

Como el plazo en que ha mantenido la Letra ha sido inferior al año, se aplica la ley de capitalización simple.
x
Por lo tanto, (P + C_c) * (1 + i * t) = N - C_v
Luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i * 0,5833) = 975.000 - 0
luego, i = 3,59%
x
Por lo tanto, la rentabilidad (anual) que obtiene el inversor en este caso es del3,59% ANTERIOR INDICE SIGUIENTE

MATEMÁTICA FINANCIERA

Descuento Bancario y Depósito en Garantía

Hace unos años era muy frecuente que cuando el cliente descontaba un efecto comercial (letra de pago) en el banco, éste le exigiera que dejara un porcentaje del importe recibido (5-10%) depositado en el banco (depósito que a veces era remunerado).

La justificación que solía dar la banca para esta operatoria era que este depósito quedaba como garantía para el supuesto de que algún efecto viniera impagado (éste se cobraría con cargo al depósito del cliente).

No obstante, había otro motivo menos "confesable", y es que con este depósito (aún en el supuesto de que fuera remunerado) el banco aumentaba la rentabilidad que obtenía en la operación de descuento.

Veamos un ejemplo:

Un cliente descuenta en un banco una letra de cambio de 800.000 ptas., por un plazo de 100 días, y con un tipo de interés anual del 9%. El banco cobra una comisión de estudio del 0,4% sobre el valor nominal el efecto.

Vamos a calcular el tipo efectivo y el TAE de la operación en dos supuestos:

a) Si el banco no exige ningún depósito.

b) Si el banco exige la constitución de un depósito por el 10% del importe efectivo, que remunera al 5% anual.

Hipótesis 1: El banco no exige ningún depósito.

a) Se calcula el importe efectivo que recibe el cliente

La fórmula es: E = C_o * ( 1 - d * t ) - ( C_o * g ) (se aplica la ley de descuento comercial)

Luego, E = 800.000 * ( 1 - 0,09 * 0,274 ) - ( 800.000 * 0,004 )

(0,274 es el plazo, 100 días, expresado en año)

Luego, E = 777.074 ptas.

b) Se calcula el tipo de interés efectivo

Se aplica la fórmula, 777.074 = 800.000 * ( 1 - i_e* 0274 ) (i_e es el tipo efectivo)

Luego, i_e= 10,46%

c) Se calcula el TAE de la operación

Se aplica la fórmula 777.074 = 800.000 * ( 1 + i_e )^^0,274(i_e es el tipo TAE)

luego, i_e = 11,20%

Hipótesis 2: El banco sí exige la constitución de un depósito

a) Se calcula el importe efectivo

El importe efectivo que recibe el cliente es el mismo (777.074 ptas.), con la diferencia de que ahora puede disponer en el momento inicial de tan sólo 699.367 (90% del importe efectivo), ya que el 10% restante (77.707 ptas.) queda depositada en el banco).

Al cabo de los 100 días, podrá disponer de las 77.707 ptas. depositadas, más de los intereses que haya generado:

Estos intereses se calcularán: I = Co * i * t

luego, I = 77.707 * 0,05 * 0,274

luego, I = 1.064,6 ptas.

b) Se calcula el tipo de interés efectivo

Igualamos en el momento inicial el valor de la prestación (lo que recibe el cliente) y la contraprestación (lo que paga)

luego, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 - i_e* 0274 ) = 800.000 * ( 1 - i_e* 0274 )

¿Cual es la prestación? las 699.367 que recibe en el momento inicial (no hay que descontarla), más el importe del depósito y de sus intereses (78.771,6 = 77.707 + 1.064,6) que recibe en el momento final (y que hay que descontar)

¿Y cual es la contraprestación? el importe del efecto(800.000) que el banco podrá cobrar en el momento final (y que hay que descontar)

Luego, i_e= 11,063%

Por lo tanto, el tipo de interés efectivo se eleva al11,063%, superior al que calculamos en la Hipótesis 1.

c) Se calcula el TAE de la operación

La fórmula es, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 + i_e )^^0,274 = 800.000 * ( 1 + i_e )^^0,274

luego, i_e = 11,89%

El TAE de la operación es 11,89%, superior igualmente al que vimos en la hipótesis anterior.

Por lo tanto, la constitución del depósito ha encarecido la operación para el cliente, ya que la remuneración que obtiene (5%) es inferior al tipo del descuento (9%).

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