SUPER AULA

Descuento Bancario y Depósito en Garantía

Hace unos años era muy frecuente que cuando el cliente descontaba un efecto comercial (letra de pago) en el banco, éste le exigiera que dejara un porcentaje del importe recibido (5-10%) depositado en el banco (depósito que a veces era remunerado).

La justificación que solía dar la banca para esta operatoria era que este depósito quedaba como garantía para el supuesto de que algún efecto viniera impagado (éste se cobraría con cargo al depósito del cliente).

No obstante, había otro motivo menos "confesable", y es que con este depósito (aún en el supuesto de que fuera remunerado) el banco aumentaba la rentabilidad que obtenía en la operación de descuento.

Veamos un ejemplo:

Un cliente descuenta en un banco una letra de cambio de 800.000 ptas., por un plazo de 100 días, y con un tipo de interés anual del 9%. El banco cobra una comisión de estudio del 0,4% sobre el valor nominal el efecto.

Vamos a calcular el tipo efectivo y el TAE de la operación en dos supuestos:

a) Si el banco no exige ningún depósito.

b) Si el banco exige la constitución de un depósito por el 10% del importe efectivo, que remunera al 5% anual.

Hipótesis 1: El banco no exige ningún depósito.

a) Se calcula el importe efectivo que recibe el cliente

La fórmula es: E = C_o * ( 1 - d * t ) - ( C_o * g ) (se aplica la ley de descuento comercial)

Luego, E = 800.000 * ( 1 - 0,09 * 0,274 ) - ( 800.000 * 0,004 )

(0,274 es el plazo, 100 días, expresado en año)

Luego, E = 777.074 ptas.

b) Se calcula el tipo de interés efectivo

Se aplica la fórmula, 777.074 = 800.000 * ( 1 - i_e* 0274 ) (i_e es el tipo efectivo)

Luego, i_e= 10,46%

c) Se calcula el TAE de la operación

Se aplica la fórmula 777.074 = 800.000 * ( 1 + i_e )^^0,274(i_e es el tipo TAE)

luego, i_e = 11,20%

Hipótesis 2: El banco sí exige la constitución de un depósito

a) Se calcula el importe efectivo

El importe efectivo que recibe el cliente es el mismo (777.074 ptas.), con la diferencia de que ahora puede disponer en el momento inicial de tan sólo 699.367 (90% del importe efectivo), ya que el 10% restante (77.707 ptas.) queda depositada en el banco).

Al cabo de los 100 días, podrá disponer de las 77.707 ptas. depositadas, más de los intereses que haya generado:

Estos intereses se calcularán: I = Co * i * t

luego, I = 77.707 * 0,05 * 0,274

luego, I = 1.064,6 ptas.

b) Se calcula el tipo de interés efectivo

Igualamos en el momento inicial el valor de la prestación (lo que recibe el cliente) y la contraprestación (lo que paga)

luego, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 - i_e* 0274 ) = 800.000 * ( 1 - i_e* 0274 )

¿Cual es la prestación? las 699.367 que recibe en el momento inicial (no hay que descontarla), más el importe del depósito y de sus intereses (78.771,6 = 77.707 + 1.064,6) que recibe en el momento final (y que hay que descontar)

¿Y cual es la contraprestación? el importe del efecto(800.000) que el banco podrá cobrar en el momento final (y que hay que descontar)

Luego, i_e= 11,063%

Por lo tanto, el tipo de interés efectivo se eleva al11,063%, superior al que calculamos en la Hipótesis 1.

c) Se calcula el TAE de la operación

La fórmula es, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 + i_e )^^0,274 = 800.000 * ( 1 + i_e )^^0,274

luego, i_e = 11,89%

El TAE de la operación es 11,89%, superior igualmente al que vimos en la hipótesis anterior.

Por lo tanto, la constitución del depósito ha encarecido la operación para el cliente, ya que la remuneración que obtiene (5%) es inferior al tipo del descuento (9%).

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MATEMÁTICA FINANCIERA

Tasa Anual Equivalente

En toda operación financiera se produce un intercambio de prestaciones dinerarias: una parte anticipa un capital y recibe a cambio pagos futuros. A lo largo de la vida de la operación, en diversos momentos pueden darse movimientos de capital en una u otra dirección.

El tipo de interés efectivo de una operación es aquel que iguala el valor actual de las prestaciones y de las contraprestaciones.

Si se actualiza al momento inicial, por una parte los pagos y por otra parte los cobros, el tipo de interés efectivo es aquel que iguala estos dos valores iniciales.

El Banco de España establece que en toda operación financiera, la entidad de crédito tiene que comunicar el tipo TAE (Tasa Anual Equivalente).

El TAE es el tipo de interés efectivo, expresado en tasa anual, pospagable.

Es decir, para calcular el TAE:

a) Se calcula el tipo de interés efectivo de la operación

b) Conocido este tipo efectivo, se calcula el tipo anual, pospagable (TAE) equivalente

El tipo TAE, al venir siempre expresado como tasa anual, pospagable, permite comparar el coste real o rendimiento real de diversas operaciones, en aquellos casos en que sus tipos de interés nominales no son directamente comparable:

Por ejemplo: si el tipo de interés de un crédito viene expresado en tasa trimestral, y el de otro crédito en tasa semestral, estos tipos no son directamente comparables. Pero si calculamos sus TAEs, ya sí se pueden comparar.

Cuando la entidad financiera calcula el TAE de una operación, en la parte de ingresos incluye no sólo los derivados del tipo de interés, sino también los ingresos por comisiones y cualquier otro tipo de ingreso derivado de la operación.

EJEMPLO: Se solicita un crédito de 1.000.000 ptas. que hay que devolver en 2 pagos semestrales de 550.000 ptas. Calcular el TAE:

Los flujos de capital son los siguientes:
x
Meses	Flujo

0	+1.000.0000
6	-500.000
12	-500.000 x 6
Sé analiza la operación desde el punto de vista del cliente. Los importes que recibe van con signos positivo, y los que paga van con signos negativo. Se podría haber realizado desde el punto de vista del banco, cambiando los signos
x
1.- Se calcula el tipo de interés efectivo
x
Luego, 1.000.000 = 550.000 * (i + i₂)^^-1 + 550.000* (i + i₂)^^-2
Luego, i₂ = 6,596 % (i₂es el tipo de interés efectivo semestral)
x
2.- Calculado el tipo de interés efectivo, se calcula su equivalente TAE:
x
Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i2)^² (donde i es el tipo TAE)
Luego, (1 + i) = (1 + 0,06596)^²
Luego, i = 13,628%
x
Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 13,628%

Ejercicios

Ejercicio 1: Se deposita en un banco 550.000 ptas. el 1 de enero, y otras 550.000 ptas. el 1 de julio. A final de año se recibe del banco 1.200.000 ptas. Calcular el TAE de la operación.

Ejercicio 2: Una entidad financiera concede un crédito de 1.000.000 ptas., a un plazo de 1 año. El tipo de interés del crédito es del 10% anual, realizándose el pago de los intereses a principio de cada trimestre. La entidad cobra una comisión de estudio de 25.000 ptas. Calcular el TAE de la operación.

SOLUCIONES

Ejercicio 1:

a) Los flujos de capital son los siguientes:
x
Meses	Flujo

0	-550.000
6	-550.000
12	+1.200.000
x	6
Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente. Los importes que recibe van con signo positivo y los que paga con signo negativo.
x
b) Se calcula el tipo de interés que iguala el valor en el momento inicial de la prestación y de la contraprestación:
x
Luego, 550.000 + 550.000 * (i + i₂)^^-1 = 1.200.000 * (1 + i₂)^{^-2}
Despejando, i₂ = 5,9429 % (i₂es el tipo de interés efectivo semestral)
x
c) Conocido el tipo de interés efectivo, se calcula su equivalente TAE:
x
Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i₂)^² (donde i es el tipo TAE)
Luego, (1 + i) = (1 + 0,059429)^²
Luego, i = 12,239%
x
Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 12,239%
x

Ejercicio 2:

a) Calculamos el importe de las liquidaciones trimestrales
x
Se calcula el tipo de interés trimestral equivalente al 10% anual:
x
luego, (1 + i) = (1 + i₄)^⁴
luego, (1 + 0,1) = (1 + i₄)^⁴
luego, i₄= 2,4114%
x
Por lo tanto la liquidación trimestral será: I = 1.000.000 * 0,024114
luego, I = 24.114 ptas.
x
b) Ya podemos detallar el flujo de la operación:
x
Meses	Principal	Intereses	Comisiones

0	+1.000.000	-24.114	-25.000
3		-24.114
6		-24.114
9		-24.114
12	-1.000.000
x	6
Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente. Los importes que recibe van con signo positivo y los que paga con signo negativo.
x
c) Se calcula el tipo de interés que iguala el valor en el momento inicial de la prestación y de la contraprestación:
x
Luego, 1.000.000 = 24.114 + 25.000 + 24.114 * (1 + i₄)^{^-1}+ 24.114 * (1 + i₄)^{^-2}+ 24.114 * (1 + i₄)^{^-3}+ 1.000.000 * (1 + i₄)^{^-4}
(la base temporal es el trimestre)
Despejando, i₄ = 3,1625 (i₄es el tipo de interés efectivo trimestral)
x
d) Conocido el tipo de interés efectivo, se calcula su equivalente TAE:
x
Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i₄)^⁴ (donde i es el tipo TAE)
Luego, (1 + i) = (1 + 0,031625)^⁴
Luego, i = 13,26%
x
Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 13,26% ANTERIOR INDICE SIGUIENTE

MATEMÁTICA FINANCIERA

Ejercicios de Rentas con distintos tipos de interes

Ejercicio 1: Calcular el valor final de una renta prepagable trimestral, que se encuentra anticipada un año y medio, aplicando un tipo de interés del 10%. Los términos son:

Periodo	Término (ptas.)
x
1º trim.	500.000
2º trim.	600.000
3º trim.	700.000
4º trim.	800.000
5º trim.	900.000
6º trim.	1.000.000

Ejercicio 2: Calcular el valor inicial de una renta anual pospagable, diferida 6 meses, aplicando un tipo de interés del 8%. Los términos son:

Periodo	Término (ptas.)
x
1º año	600.000
2º año	400.000
3º año	200.000
4º año	400.000
5º año	600.000

Ejercicio 3: A una renta semestral de 300.000 ptas., pospagable, y de 3 años de duración, se le aplican dos tipos de interés: el 3% para los tres primeros semestres y el 12% para los tres siguientes. La renta se encuentra diferida 1 años. Calcular:

El valor inicial

El tipo medio equivalente

Ejercicio 4: Una renta semestral de 6 términos de 200.000 ptas., prepagable, se le aplica el 8% en el 1er año, el 9% en el 2º año y el 10% en el 3er año. Esta renta se encuentra anticipada 2 años. Calcular el valor final.

SOLUCIONES

Ejercicio 1:

1º) se calcula el tipo de interés trimestral equivalente:

1 + i = (1 + i₄)^⁴ (siendo i₄ el tipo trimestral equivalente)

1 + 0,10 = (1 + i₄)^⁴

luego, i₄ = 2,411%

2º) Se capitaliza cada término al momento final:

Periodo	Término (ptas.)	Factor de Capitalización	Término capitalizado
x
1º sem.	500.000	(1 + 0,02411)^⁶	576.832
2º sem.	600.000	(1 + 0,02411)^⁵	675.903
3º sem.	700.000	(1 + 0,02411)^⁴	769.989
4º sem.	800.000	(1 + 0,02411)^³	859.270
5º sem.	900.000	(1 + 0,02411)^²	943.921
6º sem.	1.000.000	(1 + 0,02411)	1.024.110
x
Suma de los términos descontados			4.850.025

3º) El importe obtenido se capitaliza por el periodo anticipado:

Luego, Vn = 4.850.025 * (1 + 0,1)^^1,5 (tipo de interés anual; la base temporal es el año)

Luego, Vn = 5.595.424 ptas.

Por lo tanto, el valor final de esta renta es de 5.595.424 ptas.

Ejercicio 2:

1º) Se descuenta cada término al momento inicial:

Periodo	Término (ptas.)	Factor de Descuento	Término capitalizado
x
1º año	600.000	(1 + 0,0)^^-1	555.540
2º año	400.000	(1 + 0,0)^^-2	342.920
3º año	200.000	(1 + 0,0)^^-3	158.760
4º año	400.000	(1 + 0,0)^^-4	294.000
5º año	600.000	(1 + 0,0)^^-5	408.350
x
Suma de los términos descontados			1.759.570

2º) El importe obtenido se descuenta por el periodo diferido:

Luego, Vo = 1.759.570 * (1 + 0,08)^^-0,5

Luego, Vo = 1.693.147 ptas.

Por lo tanto, el valor inicial de esta renta es de 1.693.147 ptas.

Ejercicio 3:

1º) Cálculo del valor inicial:

Se calculan los valores iniciales de cada tramo como si se tratarán de dos rentas independientes, y se suman los valores obtenidos.

a.1.- Calculo del valor inicial del primer tramo:

Primero se calcula el tipo semestral equivalente

1 + i = (1 + i₂)^² (siendo i₂ el tipo semestral equivalente)

1 + 0,10 = (1 + i₂)^²

luego, i₂ = 4,881%

Luego se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^^-n)/ i) xx

Luego, Vo = 300.000 * ((1 - (1 + 0,04881)^^-3/ 0,04881) xx

Luego, Vo = 818.800 ptas. xx

a.2.- Calculo del valor inicial del segundo tramo:

Se calcula el tipo semestral equivalente, i₂ = 5,830%

Luego se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^^-n)/ i) xx

Luego, Vo = 300.000 * ((1 - (1 + 0,0583)^^-3/ 0,0583) xx

Luego, Vo = 804.432 ptas. (valor inicial al comienzo del 2º tramo)xx

Este valor se descuenta tres semestres hasta el momento inicial de la renta xx

Luego, Vo = 804.432 * (1 + 0,04881)^^-3 (se aplica el tipo del primer periodo)

Luego, Vo = 697.267 ptas. xx

a.3.- Calculado el valor inicial de los dos tramos se suman:

Luego, Vo = 818.800 + 697.267 xx

Luego, Vo = 1.516.067 ptas. xx

Por lo tanto, el valor inicial de la renta es de 1.516.067 ptas.

2º) Cálculo del tipo medio equivalente:

Se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^^-n)/ i) (donde i_m es el tipo medio)

luego, 1.516.067 = 300.000 * ((1 - (1 + i_m)^^-6/ i_m)

luego i_m = 5,12% (calculado por tanteo)

Ejercicio 4:

Se calculan de manera independiente los valores finales de cada tramo.

a.1.- Calculo del valor final del primer tramo:

Primero se calcula el tipo semestral equivalente, i₂ = 3,923%

Luego se aplica la fórmula Vn = C * (1 + i) * ((1 + i)^ⁿ- 1)/ i)

Luego, Vn = 200.000 * (1 + 0,03923) * ((1 + 0,03923)^²- 1)/ 0,03923)

Luego, Vn = 423.846 ptas. (valor en el momento final del tramo primero)

Este valor obtenido, se capitaliza hasta el momento final de la renta

Luego, Vn = 423.846 ptas. * (1 + 0,09) * (1 + 0,10)

Luego, Vn = 508.191 ptas.

a.2.- Calculo del valor final del segundo tramo:

Se calcula el tipo semestral equivalente, i₂ = 4,403%

Se aplica la fórmula Vn = C * (1 + i) * ((1 + i)^ⁿ- 1)/ i)

Luego, Vn = 426.806 ptas. (valor en el momento final del tramo segundo)

Este valor se capitaliza hasta el momento final de la renta

Luego, Vn = 426.806 ptas. * (1 + 0,10)

Luego, Vn = 469.486 ptas.

a.3.- Calculo del valor final del tercer tramo:

Se calcula el tipo semestral equivalente i₂ = 4,881%

Luego se aplica la fórmula V_f = C * (1 + i) * ((1 + i)^ⁿ- 1)/ i)

Luego, Vn = 429.762 ptas.

a.4.- Los valores finales de los tres tramos se suman y se obtiene el valor final de la renta:

Luego, Vn = 508.191 + 469.486 + 429.762

Luego, Vn = 1.407.439 ptas.

a.5.- El valor obtenido se capitaliza dos años (periodo anticipado)

Luego, Vn = 1.407.439 * (1 + 0,10)^²

Luego, Vn = 1.703.001 ptas.

Por lo tanto, el valor final de esta renta, tras el periodo anticipado, es de1.703.001 ptas

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