SUPER AULA

Renta temporal constante pospagable

Hemos definido como rentas constantes aquellas en las que los importes de capital (términos de la renta) son siempre iguales.

Dentro de las rentas constantes, vamos a distinguir las siguientes modalidades:

Renta temporal pospagable

Renta temporal prepagable

Renta perpetua pospagable

Renta perpetua prepagable

Renta diferida

Renta anticipada

Vamos a comenzar con el estudio de la renta temporal pospagable:

RENTA TEMPORAL POSPAGABLE

Es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al final de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al final de cada mes).

Para ver como se calcula su valor ("valor capital") vamos a comenzar por el caso más sencillo: el importe de capital en cada periodo es de 1 peseta (renta unitaria). Es decir, tenemos una sucesión finita (de "n" periodos) de importes de 1 peseta.

Periodo	1	2	3	.....	.....	.....	.....	n-2	n-1	n

Importe (ptas)	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto:

Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t

que es equivalente a:

Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t

Vamos a ir descontando cada importe:

Periodo	Importe	Importe descontado

1	1	1 / ( 1 + i )
2	1	1 / ( 1 + i )^²
3	1	1 / ( 1 + i )^³
.....	.....	.....
.....	.....	.....
n-2	1	1 / ( 1 + i )^^n-2
n-1	1	1 / ( 1 + i )^^n-1
n	1	1 / ( 1 + i )^ⁿ

La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

Ao = (1 - (1 + i)^^-n)/ i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:

Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^^-n)/ i

luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^^-7)/0,16

luego, Ao = 0,6461/0,16

luego, Ao = 4,0386 dolares.

Luego el valor actual de esta renta es 4,04 dolares.

IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual. Si, por ejemplo, los importes hubieran sido trimestrales, el tiempo y el tipo irían en base trimestral.

Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos S_f, hay que realizar el proceso inverso, es decir, capitalizar todos los importes y llevarlos al momento final. Para ello utilizaremos la ley de capitalización compuesta:

Cf = Co * ( 1 + i) ^^t

Veamos el ejemplo:

Periodo	Importe	Importe capitalizado

1	1	1 * ( 1 + i )^^n-1
2	1	1 * ( 1 + i )^^n-2
3	1	1 * ( 1 + i )^^n-3
.....	.....	.....
.....	.....	.....
n-2	1	1 * ( 1 + i )^²
n-1	1	1 * ( 1 + i )^¹
n	1	1

Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:

S_f = ((1 + i)^ⁿ- 1) / i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:

Aplicamos la fórmula S_f = ((1 + i)^ⁿ- 1) / i

luego, S_f = ((1 + 0,16)^⁷- 1) / 0,16

luego, S_f = 1,8262/0,16

luego, S_f = 11,4139 dolares.

Luego el valor final de esta renta es 11,4 dolares.

Podemos ver que relación existe entre el valor inicial Ao y el valor final S_f, y esto nos viene dado por la siguiente fórmula:

S_f = Ao (1 + i)^ⁿ

Veamos si se cumple en el ejemplo que estamos viendo:

Hemos visto que Ao = 4,0386 dolares.

y que S_f = 11,4139 dolares.

Luego 11,4139 = 4,0386* (i+0,16)^⁷

Luego 11,4139 = 4,0386*2,8262

Luego 11,4139 = 11,4139

Se cumple, por tanto, la relación

Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, vamos a estudiar como se valora una renta de importes constantes.

Para ello vamos a aplicar una propiedad que dijimos que cumplían las rentas: la proporcionalidad.

Si los términos de una renta son "x veces" mayores que los de otra, su valor capital será también "x veces" superior.

Por lo tanto, el valor de una renta, cuyos términos son de importe "C", será "C veces" mayor que el de una renta unitaria.

El valor actual "Vo" de una renta temporal de términos constantes de cuantía "C" será:

Vo = C * Ao

Por lo que:

Vo = C * ((1 - (1 + i)^^-n)/ i)

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual pospagable de 200.000 pesetas, durante 5 años, con un tipo de interés del 12%:

Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

luego, Vo = 200.000 * ( (1 - (1 + 0,12)^^-5)/0,12)

luego, Vo = 200.000 * 3,60477

luego, Vo = 720.955 dolares.

El valor actual de esta renta es 720.955 dolares.

Para calcular el valor final "Vn" seguimos el mismo razonamiento: el valor final de una renta de términos constantes "C", será "C veces" superior al de una renta unitaria

Vn = C * S_f

Por lo que:

Vn = C * (((1 + i)^ⁿ- 1) / i)

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior

Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)^ⁿ - 1) / i)

luego, Vn = 200.000 * ( ((1 + 0,12)^⁵ - 1) / 0,12)

luego, Vn = 200.000 * 6,3528

luego, Vn = 1.270.569 dolares.

Luego el valor final de esta renta es 1.270.569 dolares

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MATEMÁTICA FINANCIERA

Rentas Financieras

Una renta financiera es una sucesión de capitales distribuidos a lo largo de un periodo temporal.

Por ejemplo, un contrato de alquiler de un apartamento, por un periodo de 5 años, con pagos anuales de 100.000 ptas.

En una renta financiera distinguiremos los siguientes elementos:

a) Termino de la renta: importe del capital que se paga (o se cobra) en cada momento (en el ejemplo, las 100.000 ptas. de alquiler mensual).

b) Periodo de maduración: cada sub-periodo en el que se realizan los cobros o pagos (en el ejemplo, es el mes).

c) Duración de la renta: el periodo total de vigencia (en el ejemplo, 5 años).

En la renta financiera se denomina "valor capital", a un importe, en un momento dado, equivalente al total de la renta:

En el ejemplo anterior (pago mensual de 100.000 ptas. durante un periodo de 5 años), aplicando leyes financieras, puedo calcular que esta renta es equivalente a un sólo pago de 3.000.000 ptas. en el momento actual.

El "valor capital" de una renta se puedo calcular en cualquier momento: momento inicial, final, momento intermedio, etc. Los importes calculados varían según el momento, pero son equivalentes (si se aplican leyes de descuento o capitalización para llevarlos a un mismo periodo, coinciden).

Cuando se calcula en el momento inicial, se denomina "valor actual".

Cuando se calcula en el momento final, se denomina "valor final".

Dos rentas son equivalente cuando sus valores de capital son los mismos en cualquier momento en que se calculen:

Por ejemplo, si el valor capital del alquiler mensual de 100.000 durante 5 años, coincide en cualquier momento con el de una renta de 240.000 ptas. trimestral durante 7 años, diríamos que ambas rentas son equivalentes.

Las rentas cumplen las siguientes propiedades:

a) Proporcionalidad del "valor capital": el valor capital de una renta de 200.000 ptas., mensual, durante 5 años, es el doble del de una renta de 100.000 ptas., mensual, por el mismo periodo.

b) Adición de rentas: una renta se puede descomponer en varias sub-rentas, siendo la suma del "valor capital" de las sub-rentas igual al de la renta. (p.e. el contrato de alquiler de 5 años, se descompone en cinco contratos anuales).

Las rentas se pueden clasificar:

Según la duración de la renta:

Temporales: duración finita

Perpetuas: no tienen fin

Según el importe del término de la renta:

Constantes: siempre es la misma cantidad

Variable: la cantidad puede variar de un periodo a otro

Según los subperiodos en los que se divide:

Discreta: número de periodos finitos

Continua: flujo continuo de capital

Periodica: todos los subperiodos tienen la misma duración

No periódicas: la duración de los subperiodos varia

Según el momento del subperiodo en que se generan el cobro o el pago:

Prepagable: se genera al comienzo del subperiodo (por ejemplo, pago del alquiler a comienzo de cada mes)

Postpagable: se genera al final de cada subperiodo (por ejemplo, pagao del alquiler a final de cada mes)

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MATEMÁTICA FINANCIERA

Repaso de los Tres Tipos de Descuento

Hemos estudiado tres leyes de descuento:

x
a) Ley de descuento comercial
x
	Intereses de descuento	D = Co * d * t
	Capital final	Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))
x
b) Ley de descuento racional
x
	Intereses de descuento	D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
	Capital final	Cf = Co / (1 + d * t)
x
c) Ley de descuento compuesto
x
	Intereses de descuento	D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
	Capital final	Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t
x

La ley de descuento comercial y racional sólo se utilizan en operaciones a corto plazo (menos de 12 meses). Mientras que la ley de descuento compuesto se puede utilizar en operaciones de corto y largo plazo.

La ley de descuento racional es inversa de la ley de capitalización simple, mientras que la ley de descuento compuesto es la inversa de la ley de capitalización compuesta. Es decir, que si se descuenta un capital, y el importe resultante se capitaliza al mismo plazo y tipo, se vuelve al capital inicial.

La ley de descuento comercial no cumple esta propiedad.

El resultado de aplicar estas leyes es el siguiente:

x
La mayor carga de intereses		Descuento comercial
x
La 2ª mayor carga de intereses		Depende del plazo
x
	Operaciones < 1 año (*)	Descuento racional
	Operaciones > 1 año (*)	Descuento compuesto
x
La menor carga de intereses
x
	Operaciones < 1 año (*)	Descuento compuesto
	Operaciones > 1 año (*)	Descuento racional
xxx		x
(*) El plazo de 1 año es en el caso de que se aplique un mismo tipo de interés anual. Si el mismo tipo de interés que se aplica es trimestral, entonces el plazo sería 3 meses, y así sucesivamente.
xx

Veamos un ejemplo: Calcular el importe de los intereses de descontar un capital de 1.000.000 ptas., a un tipo de interés del 16%, por un plazo de 8 meses.

a) Ley de descuento comercial
x
	Intereses de descuento	D = Co * d * t
	Luego,	D = 1.000.000 * 0,16 * 0,66
	Luego,	D = 106.007 ptas.
x
b) Ley de descuento racional
x
	Intereses de descuento	D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
	Luego,	D = (1.000.0000,160,66)/(1+0,16*0,66)
	Luego,	D = 96.386 ptas.
x
c) Ley de descuento compuesto
x
	Intereses de descuento	D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
	Luego,	Cf = 1.000.000*(1-(1+0,16)^-0,66)
	Luego,	Cf = 94.209 ptas.
x

¿ Cual de estas leyes se utiliza ?. Se puede utilizar cualquiera, con la limitación que hemos señalado antes entre operaciones de corto y medio-largo plazo. Lo importante para el cliente de una entidad financiera es conocer el importe de los intereses de descuento según la ley elegida, y decidir si la operación planteada le resulta aceptable o no.

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