Empréstitos cupón cero - SUPER AULA

Empréstitos cupón cero


En algunos tipos de empréstitos se realiza un único pago de intereses en el momento de amortización de los títulos. Estas emisiones se denominan de "cupón cero".

Dentro de esta categoría se distinguen diversas variantes, destacando:

a) Cuotas periódicas constantes
b) Amortización del mismo número de títulos en cada periodo

Cuotas periódicas constantes

El esquema es similar al de los empréstitos con pago de intereses periódicos y cuota constante. La diferencia está en que en aquel modelo, la cuota periódica incluía intereses sobre el saldo vivo, mientras que ahora (cupón cero) sólo incluye los intereses acumulados de los títulos que se amortizan en ese periodo.

A efectos de simplificar, consideraremos que el tipo de interés es constante durante toda la vida del empréstito.

La cuota periódica se calcula:

Co = M * Ao
Siendo Co el importe inicial del empréstito
Siendo M el importe de la cuota periódica
Siendo Ao el valor actual de una renta constante, pospagable
De aquí se despeja M. 

Para calcular el número de títulos que se amortiza en cada periodo, empezamos por conocer los del primer periodo:

M = (A1 * Vn) + (1 + i)
Siendo A1 el número de títulos amortizados en el primer periodo
Siendo Vn el valor nominal de cada título
Los títulos que se amortizan en periodos sucesivos se calculan con la siguiente fórmula:

As = A1 * (1 + i)^-(s-1)
Siendo As el número de títulos que se amortiza en el periodo s

La parte de la cuota periódica que corresponde a intereses de los títulos amortizados se calcula fácilmente:

I= Ms - (A1 * Vn)
Siendo Is los intereses que se pagan en ese periodo

Conociendo este dato, ya se puede completar el cuadro de amortización.
Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y tipo de interés constante del 6%. Las cuotas anuales son constantes y los interese se pagan en el momento de amortización de cada título.

Calcular el cuadro de amortizaciones:

La cuota periódica se calcula:

Co = M * Ao
Luego, Co = M * ((1 - (1 + i)^-n) / i)
Luego, 50.000 = M * 4,2123
Luego, M = 11.869,82 millones ptas.

A continuación, se calcula el número de títulos que se amortiza en el primer periodo:

M = (A* Vn) * (1 + i)
Luego, 11.869,82 = (A1 * 0,05) + (1 + 0,06) (el valor nominal del título está expresado en millones de ptas.)
Luego, A1 = 223.959 títulos
Ya se puede calcular el resto del calendario de amortización:

A2
223.959 * (1 + 0,06)^-1
211.282 títulos
A3
223.959 * (1 + 0,06)^-2
199.323 títulos
A4
223.959 * (1 + 0,06)^-3
188.040 títulos
A5
223.959 * (1 + 0,06)^-4
177.396 títulos

Y se puede completar el cuadro de amortizaciones:

Nº de títulos
Cuota periódica
Saldo vivo del empréstito
Periodo
Vivos
Amortizados en periodo
Amortiz. acumulados
Amortiz. de capital
Intereses
Cuota periódica
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
año 0
1.000.000
0
0
0
0
0
50.000
año 1
776.041
223.959
223.959
11.197,9
671,9
11.869,8
38.802,1
año 2
564.759
211.282
435.241
10.564,1
1.305.7
11.869,8
28.238,0
año 3
365.436
199.323
634.564
9.966,1
1.903,6
11.869,8
18.271,9
año 4
177.396
188.040
822.604
9.402,0
2.467,8
11.869,8
8.869,8
año 5
0
177.396
1.000.000
8.869,8
3.000,0
11.869,8
0
                                                              
Amortización del mismo número de títulos en cada periodo

En este tipo de empréstitos en cada periodo se amortiza el mismo número de títulos:

A = n / p
Siendo A el número de títulos que se amortiza en cada periodo
Siendo n el número total de títulos emitidos
Siendo p el número de periodos
Conociendo este dato, se conoce el calendario de amortización y la evolución del saldo vivo del empréstito.

Y el importe de la cuota periódica se calcula:

Ms = (A * Vn) * (1 + i)^s
Si a la cuota del periodo se le resta la parte de amortización de capital (A * Vn) hallamos los intereses pagados en ese periodo.

Veamos un ejemplo:

Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y el tipo de interés es el 6%. Se amortiza el mismo número de títulos en cada periodo y los intereses se pagan en el momento de amortización de cada título.

Calcular el cuadro de amortizaciones.

El número de títulos que se amortiza en cada periodo:

A = n / p
luego, A = 1.000.000 / 5
luego, A = 200.000 títulos en cada periodo

Veamos el cuadro de amortizaciones:


Nº de títulos
Cuota periódica
Saldo vivo del empréstito
Periodo
Vivos
Amortizados en periodo
Amortiz. acumulados
Amortiz. de capital
Intereses
Cuota periódica
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
(Millones ptas.)
año 0
1.000.000
0
0
0
0
0
50.000
año 1
800.000
200.000
200.000
10.000
600
10.600
40.000
año 2
600.000
200.000
400.000
10.000
1.236
11.236
30.000
año 3
400.000
200.000
600.000
10.000
1.910
11.910
20.000
año 4
200.000
200.000
800.000
10.000
2.625
12.625
10.000
año 5
0
200.000
1.000.000
10.000
3.382
13.382
0


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