En este tipo de empréstitos, muy
utilizados, se realizan periódicamente amortizaciones de un número determinado
de títulos, que son elegidos por sorteo.
Las cuotas periódicas incluyen,
por tanto, dos conceptos:
- El pago de los intereses del
periodo
- La amortización de aquellos
títulos seleccionados
a) Pago periódico de intereses y
cuotas periódicas constantes
Dentro de este tipo de
empréstitos, destaca un modelo particular que se caracteriza porque las cuotas
periódicas son constantes durante toda la vida del empréstito (por simplificar,
vamos a considerar que el tipo de interés también es constante durante toda la
operación).
Para calcular el importe de la
cuota periódica se aplica la ley de equivalencia financiera:
Co = Ms *
Ao
|
Siendo Co el
importe inicial del empréstito
|
Siendo Ms el
importe de la cuota periódica
|
Siendo Ao el
valor actual de una renta constante, pospagable
|
De aquí podemos despejar el valor
de Ms. Para calcular que parte de esta cuota periódica corresponde a
amortización de capital se calcula la correspondiente al primer periodo:
M1 = (Co *
i * t) + (A1 * Vn)
|
El primer paréntesis (Co *
i * t) corresponde a los intereses del periodo, mientras que el segundo
paréntesis (A1 * Vn) corresponde a la
amortización de capital (siendo A1 el número de
títulos que se amortiza y Vn el valor nominal de cada
título)
|
El importe de los intereses se
puede calcular directamente, y a continuación se puede deducir el importe de la
amortización de capital (y con ella, el número de títulos amortizados).
A partir del número de títulos
que se amortiza en el primer periodo, se puede calcular el calendario de
amortizaciones:
As = Ai *
(1 + i)^s-1
|
Siendo As el
número de títulos que se amortiza en el periodo s
|
La parte de cada cuota periódica
que corresponde a intereses se calcula aplicando la fórmula:
Ms = AMs
+ Is
|
Por lo que, Is = Ms -
AMs
|
Ejemplo: Se realiza una emisión
de obligaciones de 20.000 millones ptas., distribuida en 1.000.000 de
títulos de 20.000 ptas. de nominal cada uno, a un plazo de 5 años y tipo de
interés del 8%. Las cuotas son anuales y constantes.
Calcular el cuadro de
amortizaciones:
Solución:
Se comienza por calcular el
importe constante de la cuota periódica
Co = Ms *
Ao
|
luego, Co = Ms *
((1 - (1 + i)^-n) / i)
|
luego, 20.000 = Ms *
((1 - (1 + 0,08)^-5) / 0,08)
|
luego, Ms =
5.009,13 millones ptas.
|
A continuación se calcula el
número de títulos que se amortiza en el primer periodo:
Ms = (Co *
i * t) + (A1 * Vn)
|
luego, 5.009,13 =
(20.000*0,08*1) * (A1 * 0,02) (el valor nominal del
título está expresado en millones de ptas.)
|
luego, A1 =
170.456 títulos
|
Ya podemos hallar el número de
títulos que se amortiza en cada uno de los periodos:
A2
|
170.456 * (1 + 0,08)
|
184.092 títulos
|
A3
|
170.456 * (1 + 0,08)^2
|
198.820 títulos
|
A4
|
170.456 * (1 + 0,08)^3
|
214.725 títulos
|
A5
|
170.456 * (1 + 0,08)^4
|
231.904 títulos
|
Conociendo el número de títulos
amortizados, simplemente se multiplican por su valor nominal para ver el
importe del empréstito amortizado en cada periodo.
Los intereses se calculan por
diferencia: Is = Ms - AMs
Ya se puede completar el cuadro
de amortizaciones:
Nº de títulos
|
Cuota periódica
|
Saldo vivo del empréstito
|
|||||
Periodo
|
Vivos
|
Amortizados en periodo
|
Amortiz. acumulados
|
Amortiz. de capital
|
Intereses
|
Cuota periódica
|
|
(Millones ptas.)
|
(Millones ptas.)
|
(Millones ptas.)
|
(Millones ptas.)
|
||||
año 0
|
1.000.000
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
20.000
|
año 1
|
829.544
|
170.456
|
170.456
|
3.409,12
|
1.600,00
|
5.009,13
|
16.590,88
|
año 2
|
645.452
|
184.092
|
354.548
|
3.681,84
|
1.327,29
|
5.009,13
|
12.909,04
|
año 3
|
446.632
|
198.820
|
553.368
|
3.796,40
|
1.032,73
|
5.009,13
|
8.932,64
|
año 4
|
231.904
|
214.725
|
768.093
|
4.294.50
|
714,63
|
5.009,13
|
4.638,08
|
año 5
|
0
|
231.904
|
1.000.000
|
4.638,08
|
371,05
|
5.009,13
|
0
|
b) Pago periódico de intereses y
amortización de capital constante
Esta es otra modalidad de
empréstitos muy utilizada.
El número de títulos que se
amortiza en cada periodo viene determinado por la fórmula:
A = n / p
|
Siendo A el número de
títulos que se amortiza en cada periodo
|
Siendo n el número
total de títulos emitidos
|
Siendo p el número de
periodos
|
Conociendo el número de títulos
que se amortiza en cada periodo, es inmediato ver como evoluciona el número de
títulos en circulación y con ello el saldo vivo del empréstito.
El importe de los intereses de
cada periodo viene determinado por:
Is = Ss-i *
i * t
|
Siendo Ss-1 el
saldo vivo del empréstito al final del periodo anterior
|
Y el importe de la cuota
periódica:
Ms = (A * Vn) +
Is
|
Siendo Vn el importe
nominal de cada título
|
Veamos un ejemplo:
Se emiten obligaciones por 30.000
millones de pesetas, a 5 años y con un tipo de interés del 7%. La emisión se
compone de 1.000.000 de títulos, con un valor nominal de 30.000 ptas. cada uno.
Se amortiza el mismo número de títulos en cada periodo.
Calcular el cuadro de
amortizaciones:
Nº de títulos
|
Cuota periódica
|
Saldo vivo del empréstito
|
|||||
Periodo
|
Vivos
|
Amortizados en periodo
|
Amortiz. acumulados
|
Amortiz. de capital
|
Intereses
|
Cuota periódica
|
|
(Millones ptas.)
|
(Millones ptas.)
|
(Millones ptas.)
|
(Millones ptas.)
|
||||
año 0
|
1.000.000
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
30.000
|
año 1
|
800.000
|
200.000
|
200.000
|
6.000
|
2.100
|
8.100
|
24.000
|
año 2
|
600.000
|
200.000
|
400.000
|
6.000
|
1.680
|
7.680
|
18.000
|
año 3
|
400.000
|
200.000
|
600.000
|
6.000
|
1.260
|
7.260
|
12.000
|
año 4
|
200.000
|
200.000
|
800.000
|
6.000
|
840
|
6.840
|
6.000
|
año 5
|
0
|
200.000
|
1.000.000
|
6.000
|
420
|
6.420
|
0
|