Renta temporal constante pospagable - SUPER AULA

Renta temporal constante pospagable

Hemos definido como rentas constantes aquellas en las que los importes de capital (términos de la renta) son siempre iguales.

Dentro de las rentas constantes, vamos a distinguir las siguientes modalidades:

Renta temporal pospagable
Renta temporal prepagable
Renta perpetua pospagable
Renta perpetua prepagable
Renta diferida
Renta anticipada
Vamos a comenzar con el estudio de la renta temporal pospagable:

RENTA TEMPORAL POSPAGABLE

Es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al final de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al final de cada mes).

Para ver como se calcula su valor ("valor capital") vamos a comenzar por el caso más sencillo: el importe de capital en cada periodo es de 1 peseta (renta unitaria). Es decir, tenemos una sucesión finita (de "n" periodos) de importes de 1 peseta.

Periodo 
1
2
3
.....
.....
.....
.....
n-2
n-1
n
Importe (ptas)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1











Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto:


 Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t 
que es equivalente a:

Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t 

Vamos a ir descontando cada importe:

Periodo 
Importe 
Importe descontado 
1
1
1 / ( 1 + i )
2
1
1 / ( 1 + i )^2
3
1
1 / ( 1 + i )^3
 .....
.....
.....
 .....
.....
.....
n-2
1
1 / ( 1 + i )^n-2
n-1
1
1 / ( 1 + i )^n-1
n
1
1 / ( 1 + i )^n



La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i 

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:

Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i 

luego,  Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16 
luego,  Ao = 0,6461/0,16 
luego,  Ao = 4,0386  dolares.
Luego el valor actual de esta renta es 4,04 dolares.

IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual. Si, por ejemplo, los importes hubieran sido trimestrales, el tiempo y el tipo irían en base trimestral.

Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos Sf, hay que realizar el proceso inverso, es decir, capitalizar todos los importes y llevarlos al momento final. Para ello utilizaremos la ley de capitalización compuesta:

Cf = Co * ( 1 + i) ^ t

Veamos el ejemplo:

Periodo 
Importe 
Importe capitalizado
1
1
1 * ( 1 + i )^n-1
2
1
1 * ( 1 + i )^n-2
3
1
1 * ( 1 + i )^n-3
 .....
.....
.....
 .....
.....
.....
n-2
1
1 * ( 1 + i )^2
n-1
1
1 * ( 1 + i )^1
n
1
1



Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:

Sf = ((1 + i)^- 1) / i 

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:

Aplicamos la fórmula Sf = ((1 + i)^- 1) / i  

luego,  Sf = ((1 + 0,16)^- 1) / 0,16 
luego,  Sf = 1,8262/0,16  
luego,  Sf = 11,4139 dolares.
Luego el valor final de esta renta es 11,4 dolares.

Podemos ver que relación existe entre el valor inicial Ao y el valor final Sf, y esto nos viene dado por la siguiente fórmula:

Sf = Ao (1 + i)^n

Veamos si se cumple en el ejemplo que estamos viendo:

Hemos visto que Ao = 4,0386 dolares.
y que Sf = 11,4139 dolares.
Luego 11,4139 = 4,0386* (i+0,16)^7
Luego 11,4139 = 4,0386*2,8262
Luego 11,4139 = 11,4139

Se cumple, por tanto, la relación


Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, vamos a estudiar como se valora una renta de importes constantes.
Para ello vamos a aplicar una propiedad que dijimos que cumplían las rentas: la proporcionalidad. 

Si los términos de una renta son "x veces" mayores que los de otra, su valor capital será también "x veces" superior.

Por lo tanto, el valor de una renta, cuyos términos son de importe "C", será "C veces" mayor que el de una renta unitaria.

El valor actual "Vo" de una renta temporal de términos constantes de cuantía "C" será:
                                                        
                                                               Vo = C * Ao
Por lo que:

                                                   Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual pospagable de 200.000 pesetas, durante 5 años, con un tipo de interés del 12%:

Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 
x
luego,  Vo = 200.000 * ( (1 - (1 + 0,12)^-5)/0,12)
luego,  Vo = 200.000 * 3,60477 
luego,  Vo = 720.955 dolares.
x
El valor actual de esta renta es 720.955 dolares.

Para calcular el valor final "Vn" seguimos el mismo razonamiento: el valor final de una renta de términos constantes "C", será "C veces" superior al de una renta unitaria
       
                                                                      Vn = C * Sf
 Por lo que:
                                                            Vn = C * (((1 + i)^- 1) / i)

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior

Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i)  
x
luego,  Vn = 200.000 * ( ((1 + 0,12)^5 - 1) / 0,12)  
luego,  Vn = 200.000 * 6,3528  
luego,  Vn = 1.270.569  dolares.  
x
Luego el valor final de esta renta es 1.270.569 dolares



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