La renta constante temporal prepagable es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al comienzo de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al comienzo de cada mes).
Para ver como se calcula su valor capital vamos a comenzar, nuevamente, por estudiar el caso de la renta unitaria (importes de 1 pta. en cada periodo)
Periodo
1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n
Importe (dolares)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Äo. Como vimos en el caso de la renta pospagable, se aplica la ley de descuento compuesto
Vamos descontando cada importe:
Periodo
Importe
Importe descontado
1 1 1
2 1 1 / ( 1 + i )
3 1 1 / ( 1 + i )^2
..... ..... .....
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-3
n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-2
n 1 1 / ( 1 + i )^n-1
La suma de todos los importes descontados es el valor actual Äo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 4 años, con un tipo de interés anual del 16%:
Aplicamos la fórmula Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Äo = (1 + 0,16) * ((1 - (1 + 0,16)^-4) / 0,16)
luego, Ao = 1,16 * 2,7982
luego, Ao = 3,246 ptas.
Luego el valor actual de esta renta es 3,246 ptas.
IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual
Este valor actual Äo guarda la siguiente relación con el valor actual Ao de una renta pospagable:
Äo = (1 + i) * Ao
Para demostrarlo, vamos a suponer que en el ejemplo anterior la renta era pospagable:
Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i
luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-4)/ 0,16
luego, Ao = 2,7982 ptas.
Hay que demostrar que Äo = (1 + i) * Ao
luego, Äo = 1,16 * 2,7983
luego, Äo = 3,246 ptas. (coincide con el valor que habíamos calculado)
Vemos, por tanto, como se cumple la relación
Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos S¨f, se utiliza la ley de capitalización compuesta. Empezamos analizando el caso de una renta unitaria:
Periodo
Importe
Importe capitalizado
1 1 1 * ( 1 + i )^n
2 1 1 * ( 1 + i )^n-1
3 1 1 * ( 1 + i )^n-2
..... ..... .....
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 1 * ( 1 + i )^3
n-1 1 1 * ( 1 + i )^2
n 1 1 * ( 1 + i )
Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:
S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)
Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:
Aplicamos la fórmula S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)
luego, S¨f = (1 + 0,16) * (((1 + 0,16)^4 - 1) / 0,16)
luego, Sf = 1,16 * 5,0664
luego, Sf = 5,877 ptas.
Luego el valor final de esta renta es 5,877 ptas.
La relación entre S¨f y el valor final de una renta pospagable Sf es la siguiente:
S¨f = (1 + i) * Sf
(Realizar la misma comprobación que hemos realizado con el valor incial)
Por otra parte, la relación entre el valor inical Aö y su valor final S¨f es:
S¨f = (1 + i)^n * Äo
Vamos a comprobarlo siguiendo el ejemplo que venimos utilizando:
Hemos visto que Äo = 3,246 ptas.
y que S¨f = 5,877 ptas.
Hay que demostrar que 5,877 = 3,246 * (i+0,16)^4
Luego 5,877 = 3,246 * 1,8106
Luego 5,877 = 5,877
Se cumple, por tanto, la relación
Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, veremos como se valora una renta de importes constantes.
El valor actual "Vo" de una renta temporal prepagable de términos constantes de cuantía "C" será:
Vo = C * Äo
Por lo que:
Vo = C * (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de 500.000 dolares, durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%:
Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral
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x
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Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
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Luego, 1 + 0,12 = (1 + i2)^2
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Luego, i2 = 5,83%
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x
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Una vez que tenemos el tipo de interés semestral, vamos a aplicar la fórmula del valor actual, Vo = C * (1 + i2) * ((1 - (1 + i2)^-n)/ i2)
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luego, Vo = 500.000*(1 + 0,0583)*((1 - (1 + 0,0583)^-10)/0,0583)
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"n" es 10, ya que 5 años tienen 10 semestres (todo va en base semestral).
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luego, Vo = 3.926.151 dólares.
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x
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El valor actual de esta renta es de 3.926.151 dólares.
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Para calcular el valor final "Vn"
Vn = C * S¨f
Por lo que:
Vn = C * (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)
Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior: